Unicidad de campos finitos con $p^n$elementos. [duplicar]

Dec 25 2020

Es bien sabido que existe un solo campo finito con $p^n$ elementos, hasta el isomorfismo, donde $p$ es un primo y $n \geq 1$.

Dejar $n = m t$, dónde $m, t > 1$.

Entonces $F = Z_p[X]/(f(X))$ es un campo con $p^n$ elementos, siempre $f$ es un polinomio irreducible de grado $n$ en $Z_p$.

Por la misma razón, $G = Z_p[X]/(g(X))$ es un campo con $m$ elementos$g$ irreductible de grado $m$). Entonces$G$ tiene $p^m$ elementos.

Finalmente deja: $H = G[X]/(h(X))$ dónde $h$ es un polinomio irreducible de grado $t$ con coeficientes en $G$.

Ahora, en mi entendimiento $F$ y $H$ tener ambos $p^n$elementos. Entonces mi pregunta es:

Son $F$ y $H$ isomorfo?

Respuestas

1 egreg Dec 25 2020 at 04:03

Esto se basa en un hecho general sobre la división de campos.

Dejar $F$ ser un campo y $f(X)\in F[X]$ser un polinomio monico. Un campo de extensión$K$ de $F$es un campo de división para$f$ Si

  1. $f(X)=(X-a_1)(X-a_2)\dots(X-a_k)$ en $K[X]$ (las raíces no necesitan ser distintas);
  2. $K=F(a_1,a_2,\dots,a_k)$

Teorema. Si$K_1$ y $K_2$ están dividiendo campos de $f(X)\in F[X]$, entonces existe un isomorfismo de campo $\varphi\colon K_1\to K_2$ dejando $F$ puntual fijo.

La prueba es bastante larga y se puede encontrar en cualquier libro sobre la teoría de Galois, porque es una herramienta básica de la misma.

Ahora considere el polinomio $X^{p^n}-X\in\mathbb{F}_p[X]$, dónde $\mathbb{F}_p$ es el $p$-campo de elementos (que es único hasta un isomorfismo único).

Dejar $K$ ser un campo dividido de $f(X)$. Entonces$f(X)$ tiene $p^n$ distintas raíces en $K$ (porque la derivada del polinomio es $-1$). Por otro lado, el conjunto de raíces de$f(X)$ es un subcampo de $K$: de hecho, si $a,b$ son raíces, entonces $$ (a+b)^{p^n}-(a+b)=a^{p^n}+b^{p^n}-a-b=0 $$ entonces $a+b$ es una raíz de $f$. Análogamente$$ (ab)^{p^n}-ab=a^{p^n}b^{p^n}-ab=ab-ab=0 $$y es fácil comprobar los recíprocos. Ya que tambien$0$ y $1$ son raíces, hemos terminado.

Así $K$ es el conjunto de todas las raíces de$f$ y por lo tanto $|K|=p^n$.

Por el contrario, si $K$ es un campo con $p^n$ elementos, entonces el mismo argumento que antes muestra que $X^{p^n}-X$ tiene $p^n$ distintas raíces en $K$, entonces $K$ es un campo de división para $f(X)$.

La unicidad hasta el isomorfismo se sigue ahora del teorema anterior.