Unir el valor propio mínimo de una matriz simétrica mediante normas matriciales

Question

Estoy leyendo un artículo en el que los autores prueban una desigualdad de la siguiente forma:

$$\lVert H-H'\rVert_2 \leq \lVert H-H'\rVert_F \leq \epsilon \tag 1$$

Aquí $H$ y $H'$ son matrices reales simétricas ($H'$ tiene todos los valores propios positivos, si eso importa), y las normas son las $L_2$norma matricial y norma Frobenius, respectivamente. Sin justificación, los autores afirman:

$$\lambda_\text{min}(H) \geq \lambda_\text{min}(H') - \epsilon \tag 2$$

dónde $\lambda_\text{min}$ es el valor propio mínimo de una matriz.

No veo cómo justificar esto, o incluso si (2) está destinado a deducirse del (1). Aquí está el papel: el final de la demostración del Lema 3.2, página 6.

Answer 1

Esta respuesta se basa en esta . A continuación trabajaremos con algún producto interno arbitrario, y cuando tomamos la norma de una matriz, esto significa la norma del operador asociada con la norma vectorial que estamos usando. Tenemos:

Teorema. Si$A$ y $B$ son simétricas reales, entonces:

$$\lambda_\text{min} (A) \geq \lambda_\text{min} (B) - \lVert A-B\rVert$$ $$\lambda_\text{max} (A) \leq \lambda_\text{max} (B) + \lVert A-B\rVert$$

Para probar esto, la clave es la expresión $x^T Mx$, dónde $M$ es una matriz simétrica y $x$Tiene unidad de norma. Necesitamos dos lemas sobre esta expresión.

Lema 1. Para cualquier matriz$M$ y cualquier norma de unidad $x$: $$-\lVert M\rVert \leq x^T Mx\leq \lVert M\rVert$$ Prueba. Aplicación simple de Cauchy-Schwartz y de la definición de una norma de operador:$$|x^TMx|\leq\lVert x\rVert \lVert Mx\rVert\leq \lVert x\rVert^2 \lVert M\rVert=\lVert M\rVert$$

Lema 2. Para cualquier matriz simétrica$M$ y cualquier norma de unidad $x$: $$\lambda_\text{min}(M) \leq x^T M x \leq \lambda_\text{max}(M)$$ y los límites se alcanzan como $x$ varía sobre la esfera de la unidad.

Prueba. Dejar$M=P^TDP$ dónde $P$ es ortogonal y $D$es diagonal. Entonces$$x^TMx = (Px)^TD(Px)$$ Como $x$ varía sobre la esfera de la unidad, $Px$ varía también en toda la esfera unitaria, por lo tanto, el rango de la última expresión anterior es simplemente el rango de $y^TDy$ como $y$rangos sobre la esfera de la unidad. Mediante el reordenamiento de la desigualdad y algunos otros argumentos simples, se alcanza el mínimo cuando$y$ es un vector propio asociado con $\lambda_\text{min}(M)$ y el máximo cuando $y$ es un vector propio asociado con $\lambda_\text{max}(M)$.

Finalmente podemos probar el teorema. Para cualquier norma de unidad$x$, tenemos

$$x^TAx = x^TBx + x^T(A-B)x$$

Al aplicar el Lema 1 al segundo término y el Lema 2 al primer término, el mínimo del lado izquierdo es al menos $\lambda_\text{min} (B)-\lVert A-B\rVert$. Por el Lema 2, sabemos que el mínimo del lado izquierdo es igual a$\lambda_\text{min} (A)$. Un argumento similar muestra la otra desigualdad en el teorema.