Usar el teorema del cero racional para encontrar ceros reales de$2x^3-3x^2-x+1$
Debo usar el teorema del cero racional para encontrar los ceros reales de$2x^3-3x^2-x+1$.
Las respuestas proporcionadas son$\frac{1}{2}$,$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$y$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$.
pude conseguir$\frac{1}{2}$por mi cuenta, pero no veo cómo se encontraron los otros dos.
En mi libro de texto me dicen que puedo encontrar candidatos a 0 tomando el cociente de los factores de p sobre los factores de q donde p es el término constante y q es el coeficiente principal.
En este caso p = factores de 1 =$\pm1$y q = factores de 2 =$\pm1, 2$. Dividiendo combinaciones de p/q obtengo$\pm1$y$\pm\frac{1}{2}$.
Luego intenté sustituir x cada una de esas 4 combinaciones dentro de la función$2x^3-3x^2-x+1$y encontré que$\frac{1}{2}$es un cero
¿Cómo/por qué son$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$y$\frac{1-\sqrt{5}}{2}$también ceros y ¿cómo podría determinar eso solo a partir del teorema del cero racional? Esta última parte es importante ya que el capítulo de mi libro de texto y la sección de ejercicios establece específicamente que debo usar este teorema para determinar los ceros reales.
Respuestas
Sugerencia Por el teorema de la raíz racional se obtiene que$1/2$es una raíz a la cúbica y así$2x-1$es un factor de la cúbica. Aplicando el algoritmo de división, obtenemos,$$2x^3-3x^2-x+1=(2x-1)(x^2-x-1)=0$$Ahora puedes resolver la cuadrática$x^2-x-1=0$?