USATST 2013/2 Demuestre que la intersección de $XL$ y $KY$ Miente en $BC$.

Aug 20 2020

Dejar $ABC$ser un triángulo agudo. Circulo$\omega_1$, con diámetro $AC$, interseca el lado $BC$ a $F$ (otro que $C$). Circulo$\omega_2$, con diámetro $BC$, interseca el lado $AC$ a $E$ (otro que $C$). Rayo$AF$ se cruza $\omega_2$ a $K$ y $M$ con $AK < AM$. Rayo$BE$ se cruza $\omega_1$ a $L$ y $N$ con $BL < BN$. Demuestra que líneas$AB$, $ML$, $NK$ son concurrentes

Mi progreso :

Reclamo :$K,M,L,N$ es cíclico

Prueba : dejar$NM\cap KL=H$. Tenga en cuenta que$H$ será el ortocentro de $ABC$ .

Por POP, $NH\cdot HM= CH\cdot CF=KH\cdot HL$.

Reclamo :$C$ es el centro de $(KMLN)$

Prueba : Desde$CA$ es el diámetro, tenemos CA como la bisectriz perpendicular de $LN$ .

similar $CB$ es la bisectriz perpendicular de $KM$ .


Ahora, solo quiero mostrar que AB es el polar de $H$ wrt $(KLMN)$. Entonces, por el teorema de Brocard, sé que$NK\cap LM \in AB $.

Respuestas

1 Soumik Aug 20 2020 at 12:34

Basta mostrar que el polo de $H$ atravesar $A$ tanto como $B$. Por simetría, basta con mostrar el polar de$H$ atravesar $A$ o equivalentemente, el polar de $A$ atravesar $H$.

Sabes el polar de $A$ es perpendicular a $AC$

Observa eso $$AC.AE=AK.AM= AC^2-r^2$$ dónde $r$ es el radio del círculo $KLMN$.

Reescribiendo esto como $$AC^2-r^2= AC.(AC-EC)$$ $$ \implies AC.EC=r^2$$

Así, el polar de $A$ wrt $KLMN$ es la recta perpendicular a $AC$ y pasa por $E$. En otras palabras, es la línea$BE$ y por lo tanto pasa por $H$.

Nota: Probablemente exista alguna disparidad entre el etiquetado de la pregunta y el del diagrama. Mi respuesta sigue el etiquetado del diagrama.