Utilice funciones generadoras para resolver la relación de recurrencia no homogénea

Aug 17 2020

Dejar $a_0=0, a_1=2,$ y $a_2=5$. Utilice funciones generadoras para resolver la ecuación de recurrencia:$$a_{n+3} = 5a_{n+2} - 7a_{n+1}+3a_n + 2^n$$ para $n\geq0$.

Este es un problema de libro de Applied Combinatorics. Estoy realmente confundido acerca de abordar$2^n$ parte de la relación de recurrencia utilizando funciones generadoras.

Editar:

Sé que necesito convertir la recurrencia en series y la he desglosado, pero estoy luchando para que tenga una forma adecuada para hacer fracciones parciales. Estas son las ecuaciones que he logrado obtener.

Si dejamos $A(x) = \sum_{n \geq 0} a_n x^n$ ser la función generadora de $a_n$ luego, después de los cálculos, obtuve:

$$A(x)\cdot(1-5x+7x^2-3x^3)= 12x^3 - 9 x^2 + \frac{2x}{1-2x}$$

Después de simplificar: $$A(x) = \frac{12x^3 - 9 x^2 + \frac{2x}{1-2x}}{1-5x+7x^2-3x^3}$$ $$= \frac{24 x^4 - 30 x^3 + 9 x^2 - 2 x}{(1-2x)(x-1)^2(3x-1)}$$

Entonces, la descomposición de la fracción parcial es: $$A(x) = -\frac{8}{1-2x} + \frac{13}{4}\frac{1}{1-3x} + \frac{37}{4}\frac{1}{1-x} - \frac{1}{2} \frac{1}{(1-x)^2} - 4$$

He intentado conectar los valores, pero algo no parece correcto. Por favor, avíseme dónde me hubiera equivocado.

Respuestas

3 Sil Aug 17 2020 at 18:53

Cometió un error en algún lugar de la derivación de la función generadora (es difícil saber dónde ya que no incluyó esta parte), tengo

\begin{align} A(x)&=2x+5x^2+\sum_{n \geq 3}a_{n}x^n\\ &=2x+5x^2+5\sum_{n \geq 3}a_{n-1}x^n-7\sum_{n \geq 3}a_{n-2}x^n+3\sum_{n \geq 3}a_{n-3}x^n+\sum_{n \geq 3}2^{n-3}x^n\\ &=2x+5x^2+5x\sum_{n \geq 2}a_{n}x^n-7x^2\sum_{n \geq 1}a_{n}x^n+3x^3\sum_{n \geq 0}a_{n}x^n+x^3\sum_{n \geq 0}2^{n}x^n\\ &=2x+5x^2+5x(A(x)-2x)-7x^2(A(x)-0)+3x^3A(x)+x^3\cdot \frac{1}{1-2x} \end{align} que resuelve a \begin{align} A(x)&=\frac{x(11x^2-9x+2)}{(1-2x)(1-3x)(x-1)^2}\\ &=\frac{2}{(x-1)^2}-\frac{3}{2}\frac{1}{1-x}-\frac{1}{1-2x}+\frac{1}{2}\frac{1}{1-3x}. \end{align} Comprueba tu solución, ojalá puedas terminarla desde aquí.