Utilice funciones generadoras para resolver la relación de recurrencia no homogénea
Dejar $a_0=0, a_1=2,$ y $a_2=5$. Utilice funciones generadoras para resolver la ecuación de recurrencia:$$a_{n+3} = 5a_{n+2} - 7a_{n+1}+3a_n + 2^n$$ para $n\geq0$.
Este es un problema de libro de Applied Combinatorics. Estoy realmente confundido acerca de abordar$2^n$ parte de la relación de recurrencia utilizando funciones generadoras.
Editar:
Sé que necesito convertir la recurrencia en series y la he desglosado, pero estoy luchando para que tenga una forma adecuada para hacer fracciones parciales. Estas son las ecuaciones que he logrado obtener.
Si dejamos $A(x) = \sum_{n \geq 0} a_n x^n$ ser la función generadora de $a_n$ luego, después de los cálculos, obtuve:
$$A(x)\cdot(1-5x+7x^2-3x^3)= 12x^3 - 9 x^2 + \frac{2x}{1-2x}$$
Después de simplificar: $$A(x) = \frac{12x^3 - 9 x^2 + \frac{2x}{1-2x}}{1-5x+7x^2-3x^3}$$ $$= \frac{24 x^4 - 30 x^3 + 9 x^2 - 2 x}{(1-2x)(x-1)^2(3x-1)}$$
Entonces, la descomposición de la fracción parcial es: $$A(x) = -\frac{8}{1-2x} + \frac{13}{4}\frac{1}{1-3x} + \frac{37}{4}\frac{1}{1-x} - \frac{1}{2} \frac{1}{(1-x)^2} - 4$$
He intentado conectar los valores, pero algo no parece correcto. Por favor, avíseme dónde me hubiera equivocado.
Respuestas
Cometió un error en algún lugar de la derivación de la función generadora (es difícil saber dónde ya que no incluyó esta parte), tengo
\begin{align} A(x)&=2x+5x^2+\sum_{n \geq 3}a_{n}x^n\\ &=2x+5x^2+5\sum_{n \geq 3}a_{n-1}x^n-7\sum_{n \geq 3}a_{n-2}x^n+3\sum_{n \geq 3}a_{n-3}x^n+\sum_{n \geq 3}2^{n-3}x^n\\ &=2x+5x^2+5x\sum_{n \geq 2}a_{n}x^n-7x^2\sum_{n \geq 1}a_{n}x^n+3x^3\sum_{n \geq 0}a_{n}x^n+x^3\sum_{n \geq 0}2^{n}x^n\\ &=2x+5x^2+5x(A(x)-2x)-7x^2(A(x)-0)+3x^3A(x)+x^3\cdot \frac{1}{1-2x} \end{align} que resuelve a \begin{align} A(x)&=\frac{x(11x^2-9x+2)}{(1-2x)(1-3x)(x-1)^2}\\ &=\frac{2}{(x-1)^2}-\frac{3}{2}\frac{1}{1-x}-\frac{1}{1-2x}+\frac{1}{2}\frac{1}{1-3x}. \end{align} Comprueba tu solución, ojalá puedas terminarla desde aquí.