Utilidad de la Geometría Diferencial
Hace poco me encontré con estos libros:
- Geometría Diferencial y Grupos Lie: Una Perspectiva Computacional
- Geometría Diferencial y Grupos de Lie: Un Segundo Curso
Su tema realmente me intriga, ya que disfruto mucho de la topología/geometría/análisis, pero no había planeado dedicarme a ellos ya que también quiero trabajar en un área con una aplicación muy concreta. Sin embargo, soy escéptico. En un momento pensé que el análisis de datos topológicos (TDA) era la unión perfecta de mis intereses, pero he encontrado muy poca evidencia de que ese campo se use realmente en informática, mucho menos en entornos industriales o más "prácticos". Parece que TDA hace que los matemáticos se sientan más relevantes para el mundo de la ciencia de datos, pero no estoy convencido de que los haga así (no dude en contradecirme si cree que estoy equivocado en este punto, pero tenga en cuenta que quiero un concreto caso de uso, no un argumento abstracto sobre su relevancia). Tengo historias similares sobre la teoría de la codificación, ciertos aspectos de la teoría de conjuntos, etcétera. Pueden tener relevancia teórica, pero ¿hay alguna situación en la que, en el proceso de desarrollo de software, uno pueda necesitar consultar estos campos? no conozco ninguno
Entonces ahora mi pregunta: ¿hay algún campo práctico de la informática que haga un uso avanzado de la geometría diferencial? Imágenes médicas, otras imágenes, gráficos por computadora, realidad virtual y algunos otros campos vienen a la mente como posibles áreas de aplicación. Sin embargo, en mi experiencia (ciertamente limitada), estas áreas parecen usar geometría 3D básica, álgebra lineal numérica y, a veces, análisis numérico de PDE. Todos esos son temas muy buenos, pero no requieren nada tan abstracto como la geometría diferencial.
Gracias por adelantado.
Respuestas
Principalmente veo geometría diferencial aplicada a la informática en los siguientes subcampos aplicados:
- Procesamiento de gráficos / geometría por computadora
- Aprendizaje automático/procesamiento de señales
Para el procesamiento de gráficos por computadora / geometría, recomendamos buscar:
- Curso de geometría diferencial discreta por Keenan Crane
- Geometría diferencial discreta para la lista de reproducción CS
- Recopilación de artículos de geometría diferencial discreta
Para aprendizaje automático/procesamiento de señales, recomendamos buscar:
- Aprendizaje múltiple
- Geometría de la información
- Procesamiento de señales no lineales
- Aprendizaje profundo geométrico
También verifique esta respuesta en Intercambio de matemáticas, y esta conferencia Geometría diferencial se encuentra con Aprendizaje profundo
Por cierto, la geometría diferencial funcional es un gran libro.
Si te pareció interesante la Estructura e Interpretación de Programas de Computador , quizás te guste la Geometría Diferencial Funcional (Es de los mismos autores).
La geometría diferencial es engañosamente simple. Es sorprendentemente fácil obtener la respuesta correcta con una manipulación de símbolos poco clara e informal. Para abordar este problema, usamos programas de computadora para comunicar una comprensión precisa de los cálculos en geometría diferencial. Expresar los métodos de la geometría diferencial en un lenguaje informático los obliga a ser inequívocos y computacionalmente efectivos. La tarea de formular un método como un programa ejecutable por computadora y depurar ese programa es un ejercicio poderoso en el proceso de aprendizaje. Además, una vez formalizada procedimentalmente, una idea matemática se convierte en una herramienta que puede usarse directamente para calcular resultados.
Tomado de Sussman, Sabiduría: Geometría Diferencial Funcional
Hoy en día, cada campo que tiene el nombre de "diferencial" se aplica de alguna manera en las redes neuronales. Para la geometría diferencial, por ejemplo, puede pensar en la representación diferencial en gráficos por computadora.
Actualmente estoy trabajando con el artículo "A Differential Theory of Radiative Transfer" de Zhang et al.