X está conectado y conectado localmente

Question

Dejar $X$ ser un $T_1$espacio topológico. Muestra esa$X$ está conectado y conectado localmente si y solo si para cada tapa abierta $\{U_s\}_{s\in S}$ y cualquier $x, y \in X$, allí existe $s_1,. . . , s_n \in S$ y $V_1,. . . , V_n$ conectado abierto en $X$ tal que $x \in V_1$, $y \in V_n$, $V_i \subset U_{s_i}$ para todos $i \in \{1,. . . , n\}$ y $V_i \cap V_j \neq \emptyset$ si y solo si, $| i - j | \leq 1$.

Mi idea: supongamos que por cada tapa abierta $\{U_s\}_{\{s\in S\}}$ y cualquier $x, y \in X$, allí existe $s_1,. . . , s_n \in S$ y $V_1,. . . , V_n$ conectado abierto en $X$ tal que $x \in V_1$, $y \in V_n$, $V_i \subset U_{s_i}$ para todos $i \in \{1,. . . , n\}$ y $V_i \cap V_j \neq \emptyset$ si y solo si, $| i - j | \leq 1$ y veamos eso $ X $ está conectado y conectado localmente

1. Conectado. Suponer$X$está desconectado; es decir,$X = U_1 \cap U_2$, dónde $U_1 \cap U_2 = \emptyset$, $U_1$, $U_2$abierto no vacío. Darse cuenta de$\mathcal{U}= \{U_1, U_2\}$ es una tapa abierta de $X$. Vamos$x \in U_1$ y $y \in U_2$, por hipótesis hay $s_1,s_2 \in \{1,2\}$ y $V_1, V_2$ conectado abierto en $X$ tal que $x \in V_1$, $y \in V_2$, $V_i \subset U_{s_i}$ para todos $i \in \{1, 2\}$, dado que U y V son disjuntos, contradice que $V_1 \cap V_2 \neq \emptyset$. por lo tanto$ X $ está conectado.
2. conectado localmente. Dejar$x \in X$y $U$ un abierto de $ X $ tal que $x \in U \subset X$, dejar $V$ ser un barrio cerrado de $x$ en $X$ tal que $V \subset U$ considerar cubrir $\mathcal=\{U, X \setminus V\}$. dejar$x \in U$, $y \in X \setminus U$ por hipótesis hay $V_1$ abierto conectado de manera que $x \in V_1 \subset U$. No estoy seguro de que este último argumento sea correcto.

La otra implicación estoy atascado, ayuda por favor

Answer 1

Su pregunta es un duplicado de Caracterización de conjuntos conectados localmente conectados donde puede encontrar todas las pruebas. Sin embargo, quería que se verificaran sus ideas:

La prueba de 1. es correcta.

La prueba de 2. no es correcta porque no puede estar seguro de que existe un vecindario cerrado $V$ de $x$ con $V \subset U$. Pero puedes tomar$X \setminus \{x\}$ en lugar de tu $X \setminus V$, y no deberías requerir $y \in X \setminus \{x\}$porque el último conjunto podría estar vacío. Tomar cualquiera$y \in X$, si tu quieres $y = x$. Además,$V_1 \subset U$ necesita un argumento, de la definición solo sabemos que $V_1 \subset U$ o $V_1 \subset X \setminus \{x\}$. Ahora tenga en cuenta que la segunda inclusión es imposible.