19 balles et une balance
On vous donne 19 balles identiques et une échelle à deux faces. L'une des balles est différente, soit plus légère, soit plus lourde que les autres. À l'aide de 4 pesées de la balance, comment déterminer quelle balle est impaire et si elle est plus légère ou plus lourde? (De manière systématique)
Réponses
Voici une stratégie évidente
Choisissez douze balles quelconques, divisez-les en deux groupes de six et comparez les deux groupes en utilisant les échelles. Si la balance penche dans un sens (n'est pas équilibrée) alors nous savons que ce groupe de 12 contient la balle impaire et nous pouvons utiliser l'une des stratégies détaillées dans les réponses à cette question pour déduire la balle impaire et son poids relatif dans trois autres pesées.
Sinon, si l'échelle est équilibrée, nous savons que la balle impaire est l'une des 7. Dans ce cas, nous pouvons simplement ajouter 5 balles du premier groupe pour en faire 12, puis répéter l'une des stratégies détaillées dans les réponses à ceci question .
Remarque
Cette généralisation rapide nous donne une stratégie de déduction de la boule impaire jusqu'à une taille définie de 24.
Une solution très agréable à la question 12 balles, 3 pesées a été référencée par Gareth McCaughan ici que je viens de copier dans le texte spoiler ci-dessous pour référence rapide
Certaines des réponses existantes à cette ancienne question sont excellentes, mais il y a une réponse célèbre qui, je pense, mérite d'être mentionnée ici. Il provient d'un article d' Eureka , le magazine annuel de la société étudiante de mathématiques de l'Université de Cambridge, écrit par CAB Smith sous le pseudonyme de "Blanche Descartes".
Il a deux caractéristiques très intéressantes. La première est qu'il s'agit d'une solution «sans ramification»: vous n'avez pas besoin de changer ce que vous faites lors des pesées ultérieures en fonction des résultats des pesées précédentes. La seconde est qu'une fois que vous l'avez vu, il est presque impossible d'oublier.
La solution de Smith est entièrement écrite en vers et comprend une explication de la façon dont tout cela fonctionne, mais je ne citerai que la réponse réelle. "F" voici notre protagoniste, le professeur Felix Fiddlesticks, dont la mère lui a demandé de l'aide pour le puzzle. J'ai apporté quelques modifications mineures au formatage d'origine.
F a placé les pièces dans une rangée
Et a marqué sur chaque lettre une lettre, donc,
Pour former les mots:F AM NOT LICKED
(Une idée dans son cerveau avait cliqué.)
Et maintenant sa mère il enjoint:
"MA, FAITES / COMME
MOI TO / TROUVEZ
FAUX / PIÈCES! "
Chacune des trois lignes de l'injonction de F décrit une pesée. Lorsque vous les avez toutes faites, les résultats déterminent de manière unique quelle pièce est fausse et de quelle manière.
Référence supplémentaire
Je pense que pour 4 pesées on peut en fait trouver la balle impaire dans un ensemble de taille $\frac{3^4 - 3}{2} = 39$.
Une bonne discussion du problème général est donnée ici