AMC 12B Problème 16 Solution AOPS 2020
Une urne contient une boule rouge et une boule bleue. Une boîte de boules rouges et bleues supplémentaires se trouve à proximité. George effectue quatre fois l'opération suivante: il tire une balle de l'urne au hasard, puis prend une balle de la même couleur dans la boîte et renvoie ces deux balles correspondantes dans l'urne. Après les quatre itérations, l'urne contient six boules. Quelle est la probabilité que l'urne contienne trois boules de chaque couleur?
J'ai résolu ce problème avec la force brute. Je veux essayer de comprendre les solutions du site Web.
Puisque nous commençons avec un rouge (R) et un bleu (B), nous aurions besoin des permutations de RRBB dans les 4 prochains tirages. J'ai du mal à comprendre pourquoi les 6 permutations auraient la même probabilité de$1/30$ (on peut trouver 3 paires égales à cause de la symétrie.), je ne comprends pas vraiment l'explication dans la solution AOPS (solution 2).
La source: https://artofproblemsolving.com/wiki/index.php/2020_AMC_10B_Problems/Problem_18
Réponses
L'essentiel de la solution 2 est le suivant:
Imaginez que vous forcez à la place. Il y a 6 ordres différents dans lesquels les R et les B peuvent entrer. Nous en prenons donc un, disons RRBB et calculons la probabilité pour cet ordre particulier:$$ \frac12\cdot\frac23\cdot\frac14\cdot\frac25 $$ Maintenant, prenez une autre commande, dites BRBR: $$ \frac12\cdot\frac13\cdot\frac24\cdot\frac25 $$Voyez-vous les similitudes? Nous obtenons toujours$2\cdot3\cdot4\cdot5$dans le dénominateur, car le nombre de boules dans l'urne change de la même manière quel que soit ce que l'on dessine. Et nous obtenons toujours, dans un certain ordre, deux$1$'s (de la première balle rouge et de la première balle bleue) et deux $2$'s (de la deuxième boule rouge et de la deuxième boule bleue) au numérateur.
La solution 2 d'AoPS indique simplement ce modèle exact, mais sans passer d'abord par les mouvements de la méthode de la force brute.