Approximation Bhaskara de cos (x)
À ma connaissance, la meilleure approximation de $\sin$ et $\cos$ est l'approximation de Bhaskara qui est: $$\sin(x) \simeq \frac{16 (\pi -x) x}{5 \pi ^2-4 (\pi -x) x}\qquad (0\leq x\leq\pi)$$ et $$\cos(x) \simeq\frac{\pi ^2-4x^2}{\pi ^2+x^2}\qquad (-\frac \pi 2 \leq x\leq\frac \pi 2)$$
quelle est la meilleure approximation de $\cos(x)$ pour $ -\pi\leq x\leq 0$ (par une fonction régulière)?
Réponses
En termes d'approximation, vous pouvez faire beaucoup de choses en fonction du nombre de termes que vous souhaitez inclure dans l'expression. La plupart du temps, cela se fait à l'aide d'approximants de Padé.
Par exemple, pour votre question, utilisez le simple $[3,2]$ Padé approximant construit autour $x=-\frac \pi 2$, on a $$\cos(x)=\left(x+\frac{\pi }{2}\right)\frac {1-\frac{7}{60} \left(x+\frac{\pi }{2}\right)^2 } {1+\frac{1}{20}\left(x+\frac{\pi }{2}\right)^2 }$$ ce qui conduit à une erreur absolue de $0.0042$ aux limites.
Bien sûr, vous pouvez aller plus loin et utiliser le $[5,4]$ Padé approximant $$\cos(x)=\left(x+\frac{\pi }{2}\right)\frac {1-\frac{53}{396} \left(x+\frac{\pi }{2}\right)^2+\frac{551 }{166320}\left(x+\frac{\pi }{2}\right)^4 } {1+\frac{13}{396} \left(x+\frac{\pi }{2}\right)^2+\frac{5 }{11088}\left(x+\frac{\pi }{2}\right)^4 }$$ ce qui conduit à une erreur absolue de $3.0\times 10^{-6}$aux limites. Cela équivaut à la série Taylor à$O\left(\left(x+\frac{\pi }{2}\right)^{11}\right)$.
Pour vous donner une idée des améliorations possibles; considérez que$P_n$ est le $[2n+1,2n]$ Padé approximant de $\cos(x)$ construit autour $x=-\frac{\pi }{2}$ et calculer la norme $$\Phi_n=\int_{-\pi}^0 \big[\cos(x)-P_n\big]^2\,dx$$
$$\left( \begin{array}{cc} n & \Phi_n \\ 1 & 3.92 \times 10^{-6} \\ 2 & 1.26 \times 10^{-12}\\ 3 & 2.23 \times 10^{-20} \end{array} \right)$$
Tout cela a été fait uniquement sur la base des informations (fonction et valeurs dérivées) à $x=-\frac{\pi}{2}$.
Mais on peut essayer de couvrir toute la gamme et considérer par exemple $$\cos(x) \sim \left(x+\frac{\pi }{2}\right)\frac {1+a \left(x+\frac{\pi }{2}\right)^2+b\left(x+\frac{\pi }{2}\right)^4 } {1+c \left(x+\frac{\pi }{2}\right)^2+d\left(x+\frac{\pi }{2}\right)^4 }$$ et obtenir
$$a=\frac{-1952+672 \pi -192 \pi ^2+56 \pi ^3}{\pi ^3(\pi ^2-10)}$$ $$b=\frac{-3456+1056 \pi +768 \pi ^2-240 \pi ^3 } {\pi ^5 \left(\pi ^2-10\right) }$$ $$c=\frac{-192+72 \pi -104 \pi ^2+32 \pi ^3 } {\pi ^2 \left(\pi ^2-10\right) } $$ $$d=\frac{-4704+1504 \pi +400 \pi ^2-128 \pi ^3} {\pi ^4 \left(\pi ^2-10\right) }$$ ce qui donne une erreur absolue maximale égale à $5.96\times 10^{-8}$ et une norme égale à $2.73\times 10^{-15}$ (lequel est $461$ fois plus petit que $\Phi_2$).
Vous remarquerez que les coefficients sont extrêmement proches de ceux de $P_2$ mais ces changements mineurs font une grande différence.
Toutes ces approximations ont été construites pour répondre à votre question.
Il n'y a pas de "meilleure" approximation pour une fonction, il y a toujours des ajustements mineurs que vous pouvez faire pour produire de meilleures approximations.
Cependant, à votre question, vous pouvez masser l'approximation que vous avez donnée en remarquant que $$-\pi\leq x\leq 0 \iff -\frac \pi2\leq x+\frac \pi2\leq \frac \pi2$$
L'approximation pour $\sin(x)$ sur $[-\pi/2, \pi/2]$ qui correspond à l'esprit de Bhaskara le mieux est
$$\frac{22 \pi^2 x - 24 x^3}{\pi (7 \pi^2 + 4 x^2)}.$$
C'est exact pour $\lvert x \rvert \in\{0, \pi/6, \pi/2\}$et sa dérivée est nulle aux extrémités. Décaler vers la gauche$\pi/2$ pour obtenir une approximation de $\cos(x)$ sur $[-\pi, 0]$.
C'est une meilleure approximation en termes d'erreur absolue maximale que celle de Padé du même degré. (L'algorithme de Remez peut en trouver un encore meilleur. Voir la section 6 de cette exposition.) Mise à l'échelle de l'intervalle$[-1,1]$ donne la plus belle approximation $$\frac{11 x - 3 x^3}{7 + x^2} \approx \sin \left(\tfrac{\pi}2 x\right).$$