Arbres discrets, denses et continus

Question

En supposant que nous utilisons la définition théorique des ensembles d'un arbre:
Un ensemble$T$ avec une commande partielle $<$ est un arbre si pour tout $t \in T$
l'ensemble $\{ s \in T : s < t \}$ est bien ordonné par $<$.
https://en.wikipedia.org/wiki/Tree_(set_theory)

Nous savons définir des ordres linéaires discrets, denses et continus à l'aide de coupes:

• Un ordre linéaire est discret si chaque coupure de celui-ci est un saut;
• Un ordre linéaire est dense s'il ne contient aucun saut;
• Un ordre linéaire dense est continu s'il ne contient aucun intervalle.

Y a-t-il une raison de ne pas utiliser les types d'ordres dans les arbres?
Pouvons-nous définir les arbres discrets, denses et continus de la même manière?

Ma tentative:

Un ensemble $T$ avec une commande partielle $\le$ est un arbre discret (resp. dense, continu) si pour tout $t \in T$:

1. l'ensemble $S = \{ s \in T : s \le t \}$ est totalement commandé par $\le$, et
2. l'ordre total de $S$ est discret (resp. dense, continu).

Si nous ajoutons la propriété de connectivité:

1. pour deux éléments quelconques $x$ et $y$ de $T$ il y a un élément $z$ tel que $z \le x$ et $z \le y$,

il semble que la nouvelle définition inclut les ensembles d'arbres réels:
https://en.wikipedia.org/wiki/Real_tree

Est-ce que ça fait du sens?

Maintenant, en supposant que nous avons séparé les arbres discrets et continus en utilisant le type d'ordre.

Prenons un ensemble $T = \{0\} \cup \mathbb T$ avec la commande partielle $x < y \iff |x| < |y|$,
où$\mathbb T = \{ z \in \mathbb C : |z| = 1 \}$ est le cercle unitaire (https://en.wikipedia.org/wiki/Circle_group)
et$0 = (0,0)$ est le centre du cercle.

Selon ma définition, $T$est un arbre discret.
Mais$T$ contient un sous-ensemble indénombrable (non discret) $\mathbb T$.
De quel genre d'arbre s'agit-il?

Answer 1

Dans votre exemple, $(\{0\}\cup\mathbb T,<)$ ne connaît pas les éléments de $\mathbb T$ formant un cercle continu en $\mathbb C$.

Vous obtiendrez un arbre isomorphe en prenant un ensemble discret $X$ avec cardinalité $2^{\aleph_0}$ et laissez $T'=\{0\}\cup X$ avec $0<x$ pour tous $x\in X$ et les éléments de $X$ incomparable.