Attente par rapport à une variable aléatoire transformée
Problème
Supposons que j'ai une variable aléatoire $z$ suite à une distribution $p(z)$. Supposons que j'ai une transformation
$$ f(z) = x $$
qui transforme la variable aléatoire $z$ dans une nouvelle variable aléatoire $x$ avec distribution $p(x)$. J'ai souvent vu le résultat suivant
$$ \mathbb{E}_{p(x)}[g(x)] = \mathbb{E}_{p(z)}[g(f(z))]. $$
En d'autres termes, l'attente par rapport à une distribution $p(x)$ peut être écrit en fonction de la distribution originale $p(z)$.
Y a-t-il une preuve de cela? Je pense que cela devrait fonctionner même si$f(z)$n'est pas inversible et / ou différentiable.
Ma configuration pour une solution
Je décrirai ma théorie de mesure mise en place.
Distribution de Z
Supposons que nous ayons deux espaces mesurables $(\Omega, \mathcal{F})$ et $(\mathsf{Z}, \mathcal{Z})$. La variable aléatoire$Z$ est une cartographie mesurable $$ Z: \Omega \to \mathsf{Z} $$
telle que la pré-image $Z^{-1}(B)$ de toute $\mathcal{Z}$-ensemble mesurable $B\in \mathcal{Z}$ est aussi $\mathcal{F}$-mesurable:
$$ Z^{-1}(B) = \{\omega\in \Omega \, :\, Z(\omega) \in B \} \in \mathcal{F} \qquad \forall \, B \in \mathcal{Z} $$ Maintenant, la distribution de $Z$est une mesure de poussée. Supposons que nous ayons un espace de probabilité$(\Omega, \mathcal{F}, \mathbb{P})$. Cela signifie que nous pouvons mesurer des ensembles dans$\mathcal{F}$. Le push-forward ou la distribution pour$Z$ est une manière de mesurer des ensembles $\mathcal{Z}$ via $\mathbb{P}$.
Fondamentalement, la distribution $Z_*\mathbb{P}$ affecte à des ensembles $B\in\mathbb{Z}$ la même valeur que si nous mappions $B$ retour à $\mathcal{F}$ via $Z^{-1}$ d'abord, puis nous trouvons sa mesure en utilisant $\mathbb{P}$.
$$ (\mathbb{P} \circ Z^{-1})(B) = Z_*\mathbb{P}(B) \qquad \forall \, B\in \mathcal{Z} $$
Distribution de X
Maintenant, la nouvelle variable aléatoire $X$ est essentiellement une fonction de la variable aléatoire $Z$ et donc $X$ est également une variable aléatoire.
Considérez l'espace de probabilité $(\mathsf{Z}, \mathcal{Z}, Z_*\mathbb{P})$ pour $Z$. Considérez également une fonction mesurable $$ X: \mathsf{Z} \to \mathsf{X} $$ où $(\mathsf{X}, \mathcal{X})$est un espace mesurable. Cela définit essentiellement la variable aléatoire$X$. Puisque nous pouvons mesurer des ensembles dans$\mathcal{Z}$ en utilisant $Z_*\mathbb{P}$ nous aimerions mesurer des ensembles dans $\mathcal{X}$aussi. Pour ce faire, nous définissons la distribution de$X$être une mesure d’impulsion. Essentiellement, pour donner une mesure à un ensemble$C\in \mathcal{X}$ il le mappe à $\mathcal{Z}$ via $X^{-1}$ puis le mesure avec la distribution $Z_*\mathbb{P}$.
$$ (Z_*\mathbb{P} \circ X^{-1})(C) = X_*Z_*\mathbb{P}(C) \qquad \forall \, C\in\mathcal{X} $$
Valeur attendue par rapport à $Z$
J'utilise cette définition. $$ \mathbb{E}_{p(Z)}(Z) = \int_{\mathsf{Z}} Z(\omega_z) \,\,d Z_*\mathbb{P}(\omega_z) $$
Valeur attendue par rapport à $X$
$$ \mathbb{E}_{p(X)}[X] = \int_{\mathsf{X}} X(\omega_x) \,\, d X_*Z_*\mathbb{P}(\omega_x) $$
Réponses
Laisser $Z$ être une variable aléatoire avec distribution $P^Z$, ce qui signifie que pour tout ensemble mesurable $A$,$$\mathbb P(Z\in A)=P^Z(A)$$ Ensuite, pour toute transformation mesurable $f$, $X=f(Z)$ est une variable aléatoire avec distribution $P^X$ tel que, pour tout ensemble mesurable $A$,$$P^X(A)=\mathbb P(X\in A)=\mathbb P(f(Z)\in A)=\mathbb P(Z\in f^{-1}(A))=P^Z(f^{-1}(A))$$ où $$f^{-1}(A)=\{x;\ f(x)\in A\}$$ (qui s'applique même lorsque $f$ n'est pas inversible).
Cela signifie que, lorsque $g(\cdot)$ est une fonction indicatrice, $\mathbb I_A$, l'égalité \begin{align}\mathbb E^{P^X}[g(X)]&=\mathbb E^{P^X}[\mathbb I_A(X)]\\ &=\mathbb P^X(A)\\ &=\mathbb P^Z(f^{-1}(A)]\\ &=\mathbb E^{P^Z}[\mathbb I_{f^{-1}(A)}(Z)]\\ &=\mathbb E^{P^Z}[\mathbb I_A(f(Z))]=\mathbb E^{P^Z}[g(f(Z))] \end{align} des stands. La conclusion suit (comme d'habitude) lors de l'écriture d'une fonction mesurable$g$en tant que limite des sommes pondérées des fonctions d'indicateur. L'attente dans le cadre de la mesure push-forward$P^X$ est en effet l'attente du $f$-transformé variate sous la mesure initiale $P^Z$: $$\mathbb E^{P^X}[g(X)]=\mathbb E^{P^Z}[g(f(Z))]$$