«Aussi infiniment que…»?

Question

La phrase suivante est tirée de mon manuel de mathématiques discrètes:

Chaque nombre rationnel a comme une infinité de représentations sous forme de rapport.

Est-ce correct? Y a-t-il divers degrés d' infiniment nombreux , ou suis-je mal compris?

Answer 1

Il est mal formulé. Ce qui serait correct, c'est:

Chaque nombre rationnel a une infinité de représentations distinctes sous forme de rapport d'entiers.

Au moins en anglais américain, je ne pense pas que ce soit aussi clairement exprimé que possible. La signification est

Chaque nombre rationnel peut être représenté par l'une quelconque d'un nombre infini de fractions avec des entiers dans le numérateur et le dénominateur.

Un mathématicien pourrait dire que

Un nombre rationnel peut avoir plusieurs représentations, mais il peut être exprimé uniquement dans les termes les plus bas comme p / q, où q est un entier positif, p est un entier et p et q ne partagent aucun facteur premier.

L'idée est que 1/3, 18/54, -12 / (- 4) sont trois des infiniment nombreuses représentations du même nombre qui peuvent être exprimées le plus simplement par 1/3.

Answer 2

"Chaque nombre rationnel a aussi infiniment de représentations qu'un rapport." Il existe, en effet, des degrés «infiniment nombreux », comme l'a montré Georg Cantor (1845-1918), le «père de la théorie des ensembles». Un ensemble de nombres a une cardinalité , c'est-à-dire un nombre qui est le décompte de ses éléments (ses membres). Cela s'applique aux ensembles de nombres avec des membres «infinis», même si nous ne pouvons pas les compter. La cardinalité de l'ensemble des entiers (dont il existe un nombre infini) est la même que celle de l'ensemble des nombres rationnels, qui, dans la théorie des ensembles de Cantor, est appelée ℵ0 ( aleph zéro ou aleph nul ). Cantor a montré que l'ensemble des nombres réels, qui a également un nombre `` infini '' de membres, a une cardinalité plus élevée (il y en a plus), (je ne montrerai pas comment il a fait cela ici), qui s'appelle ℵ1 ( aleph un ). Ce caractère ℵ est Aleph, la première lettre de l'alphabet hébreu.

Cardinalité (ensembles infinis)