Balles dans l'espace Hilbert
J'ai récemment remarqué un fait intéressant qui conduit à une question peut-être difficile. Si$n$ est un nombre naturel, soit $k_n$ être le plus petit nombre $k$ telle qu'une boule ouverte de rayon $k$ dans un espace de Hilbert réel de dimension suffisamment grande ou de dimension infinie contient $n$ boules ouvertes disjointes par paires de rayon 1. (La dimension de l'espace de Hilbert n'a pas d'importance tant qu'elle est au moins $n-1$ puisqu'il peut être remplacé par le sous-espace affine couvert par les centres des boules.) Nous avons évidemment $k_1=1$ et $k_2=2$, et il est facile de voir que $k_3=1+\frac{2}{\sqrt{3}}\approx 2.1547$. Le fait intéressant est que$k_n\leq 1+\sqrt{2}\approx 2.414$ pour tous $n$, puisque dans un espace de Hilbert de dimension infinie, une boule ouverte de ce rayon contient une infinité de boules ouvertes disjointes par paires de rayon 1 [considérons des boules centrées sur des points d'une base orthonormée]. Les questions évidentes sont: (1) Qu'est-ce que$k_n$? Cela peut être connu, mais semble difficile car il est lié à l'empilement de sphères. (2) Est$k_n$ même en augmentant strictement $n$? (3) Est$k_n<1+\sqrt{2}$ pour tous $n$, ou sont-ils égaux pour suffisamment $n$? (4) Est-il même vrai que$\sup_n k_n=1+\sqrt{2}$? Il n'est même pas complètement évident que$k_n$ existe pour tous $n$, c'est-à-dire qu'il existe un plus petit $k$ pour chaque $n$, mais il devrait y avoir un argument de compacité qui le montre. Je trouve intéressant que les chiffres$1+\frac{2}{\sqrt{3}}$ et $1+\sqrt{2}$sont si proches mais le comportement des balles est si radicalement différent. Je suppose que la question est également intéressante dans les espaces de Hilbert de plus petite dimension: soit$k_{n,d}$ être le plus petit $k$ telle qu'une boule ouverte de rayon $k$ dans un espace Hilbert de dimension $d$ contient $n$ boules ouvertes disjointes par paires de rayon 1. Puis $k_{n,d}$ se stabilise à $k_n$ pour $d\geq n-1$. Quel est$k_{n,d}$? (C'est beaucoup plus difficile car c'est pratiquement la question de la sphère si$n>>d$.)
Réponses
Pour faciliter la notation, permettez-moi d'écrire l'attente $\mathop{\mathbb{E}}_i t_i$ pour désigner la moyenne $(\sum_{i=1}^n t_i)/n$.
Si je comprends bien votre construction, vous avez des boules de rayon disjointes $1$ centré sur $x_i = \sqrt{2} e_i$ contenu dans une boule de rayon $1+\sqrt{2}$ centré sur $y = 0$. Cette construction, qui place$n$ boules serrées aux sommets d'un simplexe régulier, est optimale en termes de positions $x_i$. Pour la limite optimale exacte de votre problème, vous devez choisir$y=\mathop{\mathbb{E}}_i x_i$ pour obtenir le rayon $$\boxed{k_n = 1+\sqrt{2 (1-1/n)}}.$$
L'affirmation selon laquelle placer le $x_i$ aux sommets d'un régulier $(n-1)$-simplex et $y$au centroïde de ce simplexe est optimal a été prouvé à maintes reprises dans de nombreux contextes différents. Par exemple, il est impliqué par une borne connue par diverses sous-chaînes de la " borne simplex de Welch-Rankin " dans la théorie des cadres. Voici une simple preuve directe:
Par l'inégalité triangulaire, une boule de rayon $1+r$ centré sur $y$ contient une boule de rayon $1$ centré sur $x_i$ iff $\lVert x-y\rVert \le r$. Deux boules de rayon$1$ centré sur $x_i$ et $x_j$ sont disjoints ssi $\lVert x_i - x_j \rVert \ge 2$. Par conséquent, votre problème demande de minimiser$1 + \max_i \lVert y-x_i\rVert$ sujet à $\min_{i\ne j} \lVert x_i - x_j\rVert \ge 2$.
Travailler avec des distances au carré est plus facile. La distance quadratique maximale$\max_i \lVert y-x_i\rVert^2$ est sûrement au moins la moyenne $\mathop{\mathbb{E}}_i \lVert y-x_i\rVert^2$. Cette moyenne est minimisée lorsque$y$ est lui-même la moyenne $\mathop{\mathbb{E}}_i x_i$, auquel cas il est égal à $\mathop{\mathbb{E}}_i \mathop{\mathbb{E}}_j \lVert x_i-x_j\rVert^2/2$. Chaque terme où$i=j$ contribue $0$ à cette attente, tandis que chaque terme où $i\ne j$ contribue au moins $2$, donc globalement cette attente est au moins $2(n-1)/n$. Ainsi la distance quadratique maximale$\max_i\lVert y-x_i\rVert^2$ Est au moins $2(n-1)/n$ Et ainsi $1+r \ge 1+\sqrt{2(n-1)/n}.$ Nous pouvons vérifier que la configuration optimale mentionnée précédemment réalise cette borne soit par calcul direct, soit en constatant qu'elle réalise l'égalité à chaque étape de notre argument.