Calcul intégral, infinitésimal

Sep 05 2020

Intégrer $y=f(x)$ de $a$ à $b$ on divise la fonction en petits rectangles de largeur $dx$. Alors le$n$-le rectangle sera à une distance de $n\,dx$ de $a$ sur le $x$-axe. Qu'il y ait$t$ rectangles entre $a$ et $b$. Par conséquent$b=a+t\,dx$. Mais$t\,dx$ sera très petit pour tout entier positif $t$en raison des propriétés d'Infinitesimals. Alors comment atteindra-t-il$b$? Ai-je des idées fausses concernant le calcul et les infinitésimales?

Réponses

11 Joe Sep 05 2020 at 13:42

Dans son livre Infinite Powers , Steven Strogatz mentionne exactement ce problème que vous décrivez. Il considère la différence entre «l'infini accompli» et «l'infini potentiel». Je reviendrai bientôt sur votre question particulière, mais je décrirai d'abord un problème similaire qui aide à identifier ce qui se passe.

Comme vous le savez, la division par zéro n'est pas autorisée en mathématiques. Cependant, de nombreuses personnes partagent la fausse croyance que$$ 1/0 = \infty $$Pourquoi est-ce? Un mathématicien qualifié pourrait insulter la déclaration ci-dessus, mais en fait, c'est très plausible; faux , mais plausible. Regarde ça:\begin{align} 1/0.1&=10 \\ 1/0.01&=100 \\ 1/0.001&=1000 \\ 1/0.0001&=10000 \\ 1/0.00001&=100000 \\ &\,\,\,\vdots \end{align} Comme $x$ approches $0$, $1/x$ s'approche de l' infini. Par conséquent,$1/0=\infty$. Mais attendez, ce n'est pas ce que nous avons montré. Ce que nous avons montré, c'est que$x$ se rapproche de plus en plus de $0$, $1/x$devient de plus en plus grand. Il existe une distinction cruciale entre ces deux affirmations qui est souvent ignorée dans les cours d'introduction au calcul. Une fois que vous arrivez au cas$1/0$, toutes sortes de paradoxes émergent, et c'est donc avec raison que $1/0$n'est pas défini . Cependant, compte tenu de ce$1/0$peut-être ou ne pas être n'est pas un exercice entièrement infructueux. Au contraire, cela pourrait nous révéler l'un des outils les plus importants du calcul: la limite. Jetons un œil au graphique de$y=1/x$:

Comme vous pouvez le voir,$1/x$ jaillit au loin alors que $x$ se rapproche de plus en plus de $0$. On ne peut pas dire quoi$1/0$ est ; ce que nous pouvons dire, c'est que$x$ se rapproche de plus en plus de $0$, $1/x$devient de plus en plus grand. Ceci est formellement écrit comme$$ \lim_{x \to 0}\frac{1}{x}=\infty $$ Mais attendez, ce n'est pas tout à fait vrai non plus! $1/x$ s'approche seulement de l'infini * quand $x$ approches $0$de l'extrémité positive. Et qu'est-ce qui se passerait si$x$ est un nombre négatif qui se rapproche de plus en plus de $0$? Ensuite,$1/x$ approches $-$infini. Peut-être pourrions-nous écrire ça$$ \lim_{x \to 0}\frac{1}{x}=\pm\infty $$mais les mathématiciens aiment que les limites aient une valeur unique et définie. Par conséquent, les deux déclarations ci-dessus sont incorrectes, et ce que nous devrions écrire est la suivante:$$ \lim_{x \to 0^+}\frac{1}{x}=\infty \text{ and } \lim_{x \to 0^-}\frac{1}{x}=-\infty $$ (La petite '$+$'juste à côté du $0$ indique que nous considérons le cas où $x$ est un nombre positif qui approche $0$. De même, le '$-$' veux dire $x$ est un nombre négatif qui approche $0$.)

Ne vous inquiétez pas si tous les petits détails n'ont pas de sens pour vous. Essayez simplement de vous rappeler ces deux faits clés:

En calcul, les mathématiciens travaillent avec des limites .
Lorsque vous essayez de calculer des limites telles que $1/x$ comme $x$ approches $0$, le fait que $1/0$n'est pas défini n'est ni ici ni là. Nous n'essayons pas de déterminer ce qui se passe lorsque nous «arrivons à zéro». Nous regardons plutôt ce qui se passe à mesure que nous nous rapprochons de plus en plus$0$, à la fois dans le sens positif et négatif. **

Comparons maintenant ce que nous avons appris sur les limites avec ce que nous pensons savoir sur les infinitésimaux. Le plus gros problème avec le concept d'un infinitésimal dans mon esprit est qu'ils suggèrent qu'il existe un «plus petit nombre possible». En fait, lorsque nous travaillons avec les nombres réels standard, cela n'existe pas. Cela devrait être intuitivement évident: aussi bas que vous soyez, vous pouvez toujours descendre plus bas. Vous pourriez également être favorable à l'idée que$$ 1/\text{infinitesimal}=\infty $$Encore une fois, c'est problématique, notamment parce qu'il traite l'infini comme s'il s'agissait d'un nombre. Par conséquent, nous devons être extrêmement prudents lorsque quelqu'un mentionne les mots «infinitésimal» ou «infiniment petit». Souvent, lorsqu'ils le font, ils utilisent ces termes comme un simple raccourci pour les limites avec lesquelles nous avons travaillé plus tôt. Par exemple, si j'écris 'comme$x$ devient infiniment petit, $1/x$devient infiniment grand », alors ce serait plutôt bâclé, mais cela serait aussi généralement compris par ceux qui connaissent bien les principes fondamentaux du calcul. (Je mettrais cependant en garde contre l'utilisation d'un tel langage.)

D'autres fois, quand les gens mentionnent des infinitésimaux, ils parlent d'analyse non standard, dans laquelle l'idée d'un infinitésimal est formalisée. Mais ne nous laissons pas distraire. En ce qui me concerne, les «infinitésimaux» n'existent pas. Cela devrait aussi être votre point de vue. Bien que les infinitésimaux puissent être intuitivement attrayants, nous devons toujours confirmer que nos intuitions sont en accord avec la réalité. Sinon, nous demandons des ennuis.

Enfin, nous arrivons à votre question. Si je comprends bien, vous demandez$$ \int_a^b f(x) \, dx $$Comme vous l'avez déjà correctement souligné, les intégrales sont basées sur la division d'une courbe en plusieurs petits rectangles, chacun avec une certaine largeur. Appelons cette largeur$\Delta x$. Nous pouvons approximer la zone sous le graphique comme$$ \sum_{a+\Delta x}^b f(x) \, \Delta x $$Ne désespérez pas si l'expression ci-dessus ne vous semble pas familière. Tout cela signifie que chaque rectangle a une largeur fixe$\Delta x$. La longueur de chaque rectangle dépend de la hauteur de la courbe à chaque point - d'où la raison pour laquelle la longueur est$f(x)$, où $x$ est une variable qui va de $a$ à $b$. Et bien sûr, l'approximation provient de la sommation des aires des rectangles. Pour visualiser cela, voici une animation tirée de Wikipedia:

Comme l'animation le suggère à juste titre, les approximations s'améliorent à mesure que$\Delta x$ approches $0$. C'est ici que$dx$intervient. Vous pouvez imaginer que si les rectangles ont une largeur infiniment petite, alors les rectangles obtiennent la zone exactement correcte. Historiquement,$dx$ a en effet été utilisé de cette manière pour représenter un changement infinitésimal de $x$. Cependant, les normes modernes de rigueur ont rendu cette interprétation$dx$largement obsolète. En raison de tous les paradoxes qu'ils peuvent créer, il vaut mieux éviter les infinitésimales en mathématiques formelles, du moins dans le contexte du calcul «standard». Au lieu,$dx$doit être considéré comme faisant partie d'un raccourci pour une expression de limite. Par exemple, si$y=f(x)$, puis $dy/dx$ est un raccourci pour $$ \lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} $$Dans ce cas d'intégrales, on peut imaginer que$$ \int_a^b f(x) \, dx $$ représente la somme d'une infinité de rectangles infiniment petits de largeur $dx$. Mais même le simple fait d'écrire cela me fait grincer des dents. Le fait que le nombre de rectangles devienne de plus en plus grand ne signifie pas qu'il existe une infinité de rectangles (d'où la différence entre «l'infini potentiel» et «l'infini réel»). Et à en juger par les sentiments que vous avez exprimés dans votre question, les infinitésimales ne sont peut-être pas non plus la bonne approche pour vous. Vous avez absolument raison sur le paradoxe apparent créé si nous interprétons la largeur de chaque rectangle comme vraiment «infinitésimale». La définition formelle d'une intégrale évite entièrement cette question en définissant$\int_a^b f(x) \, dx$comme limite de la somme des aires des rectangles comme$\Delta x$ approches $0$: $$ \lim_{\Delta x \to 0}\sum_{a+\Delta x}^b f(x) \, \Delta x $$Un modèle semble avoir émergé. Chaque fois que vous vous surprenez à penser à des infinitésimaux, pensez à ses limites! Vous n'avez pas besoin de jeter votre intuition par la fenêtre - si vous trouvez que les infinitésimales sont utiles pour construire votre image mentale du calcul, alors il ne serait pas sage que vous les supprimiez. Cependant, n'oubliez jamais ce qu'il se passe réellement .

* Soyez prudent avec l'expression «approche de l'infini». Cela a un sens très différent de `` approcher$5$', dire. Si je dis$x$ s'approche de l'infini, alors tout ce que je veux dire, c'est que $x$devient de plus en plus grand. C'est ça.

** Dans ce cas particulier, la limite «n'existe pas», car on se retrouve avec deux réponses différentes: $+\infty$ et $-\infty$, selon que l'on approche $0$de «dessus» ou «dessous». Par conséquent, nous devons nous limiter à considérer le cas où$x$ approches $0$ uniquement de l'extrémité positive, ou uniquement de l'extrémité négative.