Carte, injection ou les deux?
On nous donne la relation $R$ entre $\mathbb{N}$ et $\mathbb{N}$: $$ R\colon \mathbb{N}\rightarrow \mathbb{N}\colon n \mapsto n^3- 3n^2 - n $$ et on nous demande: est $R$ une carte, une bijection, une injection ou une surjection?
Tout d'abord, il est clair que tous les nombres naturels $n$ a une correspondance correspondante, par exemple 1 correspondrait à -3, ce qui est $\notin \mathbb{N}$, de même pour 2 (qui correspondrait à -6) et 3 (correspondrait à -2). En conclusion: tous les éléments de l'ensemble source$\mathbb{N}$ a un élément cible associé, et pas tous les éléments de l'ensemble cible $\mathbb{N}$ a un élément source associé.
Cela exclut la bijection et la surjection. Cela devrait être une injection, car chaque élément cible a un élément source unique. Mon collègue pense que$R$est à la fois une carte et une injection, puisque "toutes les injections sont des cartes". Cependant, je crois que$R$n'est pas une carte, car tous les éléments de l'ensemble source n'ont pas d'élément cible. Diverses sources sur Internet (et livres) semblent définir les cartes et les injections comme étant restreintes au domaine de$R$, auquel cas mon collègue a raison de dire que les injections sont des cartes.
Nous sommes bloqués. Lequel de nous a raison?
MODIFIER Nous suivons les définitions (non standard?) D'un cours de mathématiques discrètes, qui sont les suivantes:
- Une relation entre deux ensembles est appelée un mappage si de chaque élément s'écarte exactement une flèche.
- Une relation est appelée injection si de chaque élément au plus une flèche part et dans chaque élément au plus une flèche arrive.
Réponses
Une relation (binaire) entre des ensembles $X$ et $Y$ n'est rien d'autre qu'un sous-ensemble du produit cartésien $X × Y$. Dans votre question, nous avons$R \subset \mathbb N \times \mathbb N$. À mon avis, il est trompeur d'écrire le formulaire$n \mapsto n^3- 3n^2 - n $, Je préférerais écrire $$R = \{ (n,m) \in \mathbb N \times \mathbb N \mid m = n^3- 3n^2 - n \} .$$
Je recommande de jeter un oeil à https://en.wikipedia.org/wiki/Binary_relation.
$R$ n'est pas une fonction $\mathbb N \to \mathbb N$. Comme vous l'avez montré, pour$n = 1, 2,3$ Nous n'avons pas $m \in \mathbb N$ tel que $(n,m) \in R$. Cependant, nous pouvons le considérer comme une fonction partielle, ce qui signifie que pour chaque$n \in \mathbb N$ nous en avons au plus un $m \in \mathbb N$ tel que $(n,m) \in R$. La restriction$\mathbb N \setminus \{1, 2, 3\} \to \mathbb N$ est une fonction.
$R$est une relation injective. Cela signifie que si$(n, m) \in R$ et $(n', m) \in R$, puis $n = n'$. En fait, considérez la fonction$\phi : \mathbb R \to \mathbb R,\phi(x ) = x^3 -3x^2-x$. Son dérivé$\phi'(x) = 3x^2 - 6x -1$ est positif pour $x > \xi = 1 + \sqrt{4/3}$, Donc $\phi$ augmente strictement sur $(\xi,\infty)$. Depuis$ 4 > \xi$, nous obtenons l'injectivité.
$R$ n'est pas une relation surjective ce qui veut dire qu'il existe $m \in \mathbb N$ tel pour tous $n \in \mathbb N$ nous avons $(n,m) \notin R$. En fait, nous avons$\phi(4)= 12, \phi(5) = 45$. Depuis$\phi$ augmente strictement sur $(\xi,\infty)$, nous pouvons prendre $m = 13$.
Je dirais que c'est une carte (pas bien définie) de $\mathbb{N}$ à $\mathbb{N}$ (puisqu'il prend des entrées de $\mathbb{N}$ et sort dans l'espace cible $\mathbb{N}$). Ce n'est pas une injection car elle n'est même pas bien définie.
Mais c'est une carte bien définie de $\mathbb{N}\setminus\{1,2,3\}$ à $\mathbb{N}$, en fait c'est une injection
Dans la définition que vous donnez à la fin de votre article, nous avons que chaque fonction injective est une relation injective mais chaque relation injective n'est pas une fonction injective (fonction injective signifie ici une relation qui est une fonction et une relation injective).
Par exemple, laissez $A=\{a,b,c\}$, $B=\{b,c\}$ et $R=\{(b,b),(c,c)\}\subset A\times B$ puis $R$ n'est pas une fonction de $A$ à $B$ car il n'y a pas de flèche partant de $a$ (l'exigence de votre définition de la cartographie serait qu'il y ait une flèche s'écartant de $a$).
D'autre part, de chaque élément de $A$ il y a au plus une flèche au départ (le libellé "au plus" suggère qu'aucune flèche au départ n'est autorisée) et au plus une flèche arrive à chaque élément $B$ fabrication $R$ une relation injective.
Résumé: Les injections (en termes de relations) ne sont pas toujours des mappages.