Combien de bagues y a-t-il pour une commande donnée?

Question

J'ai souvent rencontré des questions telles que:

Combien d'anneaux d'ordre 4 y a-t-il jusqu'à l'isomorphisme ?

Souvent, la solution impliquait des traitements par force brute comme la vérification des tables de multiplication.

Mais il est possible de vérifier toutes les tables de multiplication possibles si l'ordre de l'anneau est petit, mais cela devient très difficile lorsqu'il s'agit d'un nombre arbitraire $n$.

Alors, existe-t-il une formulation générale pour trouver le nombre d'anneaux d'ordre $n$ jusqu'à l'isomorphisme des anneaux?

Answer 1

D'après cet article

Singmaster, David; Bloom, DM (octobre 1964), «E1648», American Mathematical Monthly, 71 (8): 918–920

il y a 11 anneaux d'ordre 4. Selon cette question , il y a 4 anneaux unitaires d'ordre 4.

Le nombre de sonneries avec $n$éléments est la séquence A027623 dans l' Encyclopédie en ligne des séquences entières . Il n'y a pas de formule générale connue

Answer 2

J'essaierai de répondre à votre question pour le cas de commande $p^2$, où $p$est un nombre premier, et pour les anneaux commutatifs unitaires$R$.

Notez tout d'abord que nous avons un homomorphisme unique $f:\mathbb{Z}\to R$, Envoi en cours $1$ à $1$.

Si l'image de $f$ est $R$, puis $R\cong \mathbb{Z}/\ker(f)$, Par conséquent $R\cong \mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z}$ comme des anneaux.

Si l'image n'est pas $R$, il doit avoir de l'ordre $p$, Par conséquent $$\mathbb{F}_p:=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \hookrightarrow R$$ ce qui rend $R$ un $\mathbb{F}_p$-espace vectoriel, nécessairement de dimension $2$.

Si $R$ est donc un champ par un théorème général sur l'existence et l'unicité des champs finis d'ordre $p^n$, puis $R\cong \mathbb{F}_{p^2}$, le domaine unique de l'ordre $p^2$.

Si $R$est un domaine intégral, puisque tout domaine fini est un corps , nous sommes réduits au cas précédent.

Si $R$ n'est pas un domaine intégral, non plus il existe $a\ne b\in R$, $a\ne 0 \ne b$, tel que $a\cdot b=0$, ou il existe $a\in R$, $a\ne 0$, tel que $a^2=0$.

Considérons d'abord le second cas: ensuite, considérons le morfisme des anneaux $g:\mathbb{F_p}[x]\to R$ Envoi en cours $p(x)$ à $p(a)$. Clairement$g(\mathbb{F_p}[x])= R$, depuis $\langle 1,a\rangle _{\mathbb{F}_p} =R$ déjà en tant qu'espaces vectoriels (puisque $a\notin \mathbb{F}_p$), et $\ker(x)\supset (x^2)$. Mais$\mathbb{F_p}[x]/(x^2)$ a $p^2$ éléments, d'où $R\cong \mathbb{F_p}[x]/(x^2)$.

On se retrouve avec le cas qu'il existe $a\ne b\in R$, $a\ne 0 \ne b$, tel que $a\cdot b=0$, mais $c^2\ne 0$ pour tous $c\in R$, $c\ne 0$. On verra ça$R\cong \mathbb{F_p}\times \mathbb{F}_p$. L'idée est que$\langle a, b\rangle _{\mathbb{F}_p} =R$, puisqu'ils sont tous deux linéairement indépendants sur $\mathbb{F}_p$: si $a=n\cdot b$, $n\in \mathbb{F}_p$, $n\ne 0$, puis $0=a\cdot b=n\cdot a^2$, Par conséquent $a^2=0$, ce que nous supposons n'est pas vrai. Maintenant, il existe$n,m\in \mathbb{F}_p$, $n\ne 0 \ne m$, tel que $1=na+mb$. Après avoir changé$a$ et $b$ pour $na$ et $mb$, on peut supposer $a+b=1$. Mais alors$a^2=a(1-b)=a-ab=a$, et de même pour $b$. On vérifie que la bijection$\psi: \mathbb{F_p}\times \mathbb{F}_p\to R$ Envoi en cours $\psi(i,j)=i\cdot a+j\cdot b$ est un morphisme d'anneaux, donc un isomorphisme.

Par conséquent, il y a $4$ anneaux commutatifs unitaires avec $p^2$ éléments: $$ \mathbb{Z}/p^2\mathbb{Z},\ \mathbb{F}_{p^2},\ \mathbb{F_p}\times \mathbb{F}_p \text{ and } \mathbb{F_p}[x]/(x^2).$$

ps Après avoir écrit cette réponse, j'apprends que tous les anneaux d'ordre unitaires$p^2$sont commutatifs . L'argument précédent couvre donc tous les anneaux unitaires.