Combien de mots de passe possible?

Question

Un mot de passe pour une banque devant inclure 11 lettres peut être créé à partir du$A,B,..Z$ lettres (majuscules uniquement) de telle sorte que le mot de passe doit inclure la lettre $A$ excatly 5 fois et $Z$ exactement 3 fois, combien de mots de passe différents peuvent être créés?

J'ai du mal à appliquer les conditions des lettres $A$ et $Z$, Je sais que dans un général sans conditions il y a $26^{11}$ options, maintenant je voudrais comprendre le nombre de mots de passe interdits.

Answer 1

Puisque $8$ les emplacements du mot de passe sont fixes, considérons le reste $3$ endroits qui peuvent être remplis avec le reste $24$ des lettres.

Le nombre de "$3-24$"mots de passe est $24^3$.

Maintenant, considérons un mot de passe composé par $5$ "UNE", $3$ "Z" et $3$"*". Le nombre de ces mots de passe est$$\frac{11!}{5!3!3!}.$$

Notez que ce nombre est évalué à l'aide de la formule des permutations de multisets .

Par conséquent, le nombre total de mots de passe répondant à vos exigences est:

$$24^3 \cdot \frac{11!}{5!3!3!} = 127'733'760.$$

Notez que les lettres "*" correspondent au "$3-24$"mots de passe.

---

Une explication plus efficace est la suivante:

\ begin {array} {ccccccccccc} A & A & A & A & A & Z & Z & Z & * & * & * \\ A & A & A & A & A & Z & Z & * & Z & * & * \\ A & A & A & A & A & Z & * & Z & Z & * & * \\ & & & & \ vdots \\ * & * & * & Z & Z & Z & A & A & A & A & A \\ \ end {array}

Le nombre de lignes de ce tableau est $\frac{11!}{5!3!3!}$. Pour chaque ligne, vous pouvez former exactement$24^3$ mots de passe attribuant des lettres différentes aux "*".

Answer 2

Il y a $11 \choose 5$ façons de choisir les endroits pour les 5 $A$s. Une fois que cela est fait, il y a$6$ taches restantes, et il y a donc $6 \choose 3$ de choisir les lieux pour les 3 $Z$s.

Il y a maintenant $11 - 5 - 3 = 3$taches laissées. Maintenant il y a$24$ lettres restantes au choix (depuis $A$ et $Z$ ont été utilisés), et les lettres peuvent être répétées, il y a donc $24^3$ façons de remplir ces $3$ taches.

Par conséquent, le total est ${11 \choose 5} \cdot {6 \choose 3} \cdot 24^3 = 127 \ 733 \ 760 $.

Answer 3

Tout d'abord, notez que huit des lettres sont fixes. Maintenant, les trois lettres restantes peuvent être n'importe laquelle des lettres sauf pour$A$ et $Z$. Il y a${}^{24}C_3$combinaisons pour cela. Maintenant, ces 11 lettres pourraient s'échanger en$11!$ façons.

Mais les échanges entre les $5$ $A$'le sable $3$ $Z$ne sont pas significatifs. Par conséquent, le nombre total de permutations (échanges) est$$\frac{11!}{5!\cdot 3!} = 332640$$

Selon le principe de multiplication, le nombre total de mots de passe est $${}^{24}C_3\times 332640 = 4039518160$$

J'espère que ça aide :)