Combinatoire - Choix des bâtons

Question

Sept bâtons de longueurs 2, 3, 5, 7, 11, 13 et 17 pouces sont placés dans une boîte. Trois des bâtons sont choisis au hasard. Quelle est la probabilité qu'un triangle puisse être formé en joignant les extrémités des bâtons? Exprimez votre réponse sous forme de fraction commune.

Mon travail: En utilisant l'inégalité triangulaire, j'ai compté$9$ façons de choisir les bâtons: $(3,5,7) ; (3, 11, 13) ; (5,7,11) ; (5,11,13); (5,13,17); (7,11,13); (7,11,17); (7,13,17) ;(11,13,17) $.

Ma question: Je ne sais pas comment compter le nombre total de façons de choisir les bâtons. C'est choisir$(3,5,7)$ la même chose que choisir $(5,3,7)$, par exemple, ou est-ce que ceux-ci comptent comme des façons distinctes de dessiner?

Answer 1

Pour le premier bâton, vous avez $7$options. Pour les deuxième et troisième, vous avez$6$ et $5$options respectivement. Cela signifie que vous pouvez choisir$3$ bâtons de la $7$ dans $7*6*5=210$façons. Seulement$9*(3*2*1)=54$ de ceux-ci mènent au résultat souhaité, donc la probabilité serait $\frac{54}{210}=0.257...$

Comme d'autres l'ont souligné, vous pouvez tenir compte de l'ordre ou non, à condition de le faire en conséquence dans vos calculs. Si vous voyez différentes commandes d'ensembles du même bâton comme équivalents, le nombre de façons de choisir$3$ bâtons de $7$ est en effet $\binom{7}{3}=35$ ou $7$ choisir $3$. Ensuite,$\frac{9}{35}=\frac{54}{210}=0.257...$