Comment attacher un $2$-cellule?

Question

C'est un problème de la topologie algébrique de Hatcher

"Calculer l'homologie de l'espace obtenue à partir de $D^2$ en supprimant d'abord les intérieurs de deux sous-disques disjoints à l'intérieur de $D^2$ et ensuite identifier les trois cercles de frontière résultants ensemble via des homéomorphismes préservant les orientations dans le sens des aiguilles d'une montre de ces cercles. "

J'ai trouvé une solution ici https://web.stanford.edu/class/math215b/Sol4.pdf. Sur la photo, vous pouvez voir que la solution utilise une structure CW et dit le$2$-cellule $U$ s'attache au mot $aba^{-1}b^{-1}ca^{-1}c^{-1}$. Ma question est la suivante: pourquoi cela?

Il me semble plus rationnel d'attacher $U$ à $abab^{-1}cac^{-1}$puisque nous voulons que les 3 cercles soient dans le sens des aiguilles d'une montre. Je peux vaguement comprendre la procédure: on commence à$x$, puis on fait le tour $a$, maintenant nous traversons $b$ pour atteindre le cercle intérieur depuis le cercle extérieur, puis on fait le tour $a$ encore une fois, alors nous faisons la même chose pour $c$. Mais pourquoi allons-nous dans le sens inverse des aiguilles d'une montre lorsque nous atteignons l'intérieur?

Answer 1

Pense à toi assis à l'intérieur $U$et pensez à la façon dont la frontière s'enroule. Vous commencez au sommet$x$ puis faites un tour dans le sens des aiguilles d'une montre autour du cercle extérieur ($a$), puis une promenade le long du segment $b$ (maintenant tu as fait $ab$) puis une promenade dans le sens inverse des aiguilles d'une montre le long du cercle intérieur gauche ($aba^{-1}$), puis de retour $b$ ($aba^{-1}b^{-1}$) etc.

Le fait est que quand tu es à l'intérieur $U$les promenades le long des cercles intérieurs sont dans le sens inverse des aiguilles d'une montre; dans la direction opposée à la promenade autour du cercle extérieur. N'oubliez pas que l'intérieur de$U$ est toujours du même côté que l'on marche le long de sa frontière.