Comment calculer $S^{(2)}(E / \mathbb{Q}))$ de $S^{(\phi)} (E/ \mathbb{Q})$ et $S^{(\hat \phi)} (E'/ \mathbb{Q})$?

Question

Je regarde l'exemple 4.10 (du chapitre X) du livre de Silverman "L'arithmétique des courbes elliptiques" 2ème édition, qui traite de la descente via deux isogénie (proposition 4.9). L'exemple concerne l'informatique$E(\mathbb{Q}) / 2 E(\mathbb{Q})$ pour la courbe $$ E: y^2 = x^3 - 6x^2 +17x .$$ La courbe qui est $2$-isogène à $E$ est $$ E' : Y^2 = X^3 + 12X^2 - 32X .$$

Nous avons l'isogénie habituelle $\phi: E \to E'$ et double isogénie $\hat \phi : E' \to E$ avec $\hat \phi \circ \phi = 2$ (les formules exactes sont définies dans la proposition 4.9).

Il calcule que $S^{(\phi)} (E/ \mathbb{Q}) = \{ \pm 1, \pm 2\}$ et $S^{(\hat \phi)} (E'/ \mathbb{Q}) = \{ 1, 17 \}.$

Je voudrais calculer le $2$-Groupe Selmer $S^{(2)}(E / \mathbb{Q})$, et d'après ce que je comprends, je dois combiner les deux informations ci-dessus d'une manière ou d'une autre (de la même manière que vous pouvez combiner $E'(\mathbb{Q}) / \phi ( E(\mathbb{Q}))$ et $E(\mathbb{Q}) / \hat \phi (E' (\mathbb{Q}))$ obtenir $E(\mathbb{Q}) / 2E(\mathbb{Q}))$. Quelqu'un pourrait-il expliquer comment je peux m'y prendre?

PS Je me sens assez dépassé par ce livre en général, donc si je me suis trompé, faites-le moi savoir.

Answer 1

Dans votre exemple, les informations pertinentes dont vous avez besoin sont la remarque X.4.7 et le fait que $$E'(\mathbb{Q}) / \phi ( E(\mathbb{Q}))=S^{(\phi)} (E/ \mathbb{Q})=\{ \pm 1, \pm 2\} \text{ and } E(\mathbb{Q}) / \hat \phi (E' (\mathbb{Q}))=S^{(\hat \phi)} (E'/ \mathbb{Q})=\{ 1, 17 \},$$ puisque les groupes Tate-Shafarevich concernés sont triviaux, l'identification via "le $x$-coordonnée "(sauf pour les deux points de torsion $(0,0)$).

Nous avons donc la remarque X.4.7 disant que $$ E'(\mathbb Q)[\hat \phi]/\phi(E(\mathbb Q)[2])\to E'(\mathbb Q)/\phi(E(\mathbb Q)) \to E(\mathbb Q)/2E(\mathbb Q) \to E(\mathbb Q)/\hat \phi (E'(\mathbb Q)) \to 0$$ est exact, le second morphisme étant $\phi$.

Maintenant, $$E'(\mathbb Q)/\hat \phi(E(\mathbb Q)) =\langle\ \overline{(0,0)}\ , \ \overline{(8,-32)}\ \rangle$$ et la carte $\phi$ envoie $(0,0)$ à $0$ (le point à l'infini) (c'est bien sûr général, puisque $\phi$ est l'envoi de 2-isogénie $(0,0)$ à $0$) et envoie $(8,-32)$ à un élément $\phi(8,-32)$, ne pas $2$-torsion (que je vous ai laissé calculer).

Donc $$S^{(2)}(E/\mathbb Q)=E(\mathbb Q)/2E(\mathbb Q) =\langle\ \overline{\phi(8,-32)}\ , \ \overline{(0,0)}\ \rangle.$$ Vous pouvez maintenant utiliser la description que vous aimez des éléments de $S^{(2)}(E/\mathbb Q)$.

Edit : Dans le cas général, il existe une séquence exacte naturelle$$\to S^{(\phi)} (E/ \mathbb{Q}) \to S^{(2)}(E/\mathbb Q) \to S^{(\hat \phi)} (E'/ \mathbb{Q}) \to 0$$ mais je ne sais pas trop quoi mettre du côté gauche.

Une façon possible de comprendre cette séquence est d'observer que $S^{(2)}(E/\mathbb Q)$ est le groupe de revêtements galoisiens non ramifiés de $E$ avec le groupe Galois "$E[2]$"(et avec des points localement partout), et la 2-isogénie provient d'un $\mathbb Z/2\mathbb Z \subset E[2]$: la carte $ S^{(2)}(E/\mathbb Q) \to S^{(\hat \phi)} (E'/ \mathbb{Q}) $ correspond à la carte "fixation par le $\mathbb Z/2\mathbb Z$", comme dans la théorie galoisienne habituelle des champs.

La carte $S^{(\phi)} (E/ \mathbb{Q}) \to S^{(2)}(E/\mathbb Q)$ correspond à voir chaque couverture galoisienne non ramifiée $\psi:D\to E'$ de $E'$ avec le groupe Galois $\mathbb Z/2\mathbb Z$ à une couverture galoisienne de $E$ via $\phi$, c'est à dire $\phi\circ \psi:D\to E'\to E$.