Comment interpréter la définition de l'injectivité

Question

Je lis l' Analyse de Terence Tao . Dans la section 3.3, il introduit la définition de l'injectivité comme suit :

Une fonction f est univoque (ou injective) si différents éléments correspondent à différents éléments :$$x \neq x' \Longrightarrow f(x) \neq f(x') $$De manière équivalente, une fonction est biunivoque si$$ f(x) = f(x') \Longrightarrow x = x'$$

La langue n'est pas difficile à comprendre. Lorsque je faisais l'exercice 3.3.3, cependant, j'ai trouvé qu'il n'est pas très rigoureux et que différentes interprétations de la définition aboutissent à des conclusions différentes.

Par exemple, si nous l'interprétons comme (Supposons que le domaine est$X$)$$ \forall x \forall x'(x \in X \wedge x' \in X \wedge (x \neq x' \Longrightarrow f(x) \neq f(x')))$$, alors la fonction vide n'est pas injective puisque$x \in \varnothing$est toujours une fausse déclaration.

D'autre part, si nous l'interprétons comme$$\forall x \forall x'((x \in X \wedge x' \in X \wedge x \neq x') \Longrightarrow (f(x) \neq f(x'))) $$, ou alors$$ \forall x \forall x'((x \in X \wedge x' \in X) \Longrightarrow( x \neq x' \Rightarrow (f(x) \neq f(x'))) $$, alors la fonction vide est toujours injective pour$$(x \in \varnothing \wedge x' \in \varnothing \wedge x \neq x') \Longrightarrow (f(x) \neq f(x'))$$et$$(x \in \varnothing \wedge x' \in \varnothing) \Longrightarrow( x \neq x' \Rightarrow (f(x) \neq f(x'))$$sont vainement vraies.

Laquelle des interprétations est la bonne, ou peut-il y avoir différentes interprétations pour une définition ?

Answer 1

Votre première interprétation,$$\forall x\forall x'(x\in X\land x'\in X\land (x\neq x'\to f(x)\neq f(x'))),$$est incorrect.

Ce que vous essayez de faire ici est de lier le quantificateur universel, à savoir,$$(\forall x\in X)(\forall x'\in X)(x\neq x'\to f(x)\neq f(x')),$$Mais un quantificateur universel borné est défini comme ceci :$$(\forall x\in X)\varphi := \forall x(x\in X\to\varphi).$$

La bonne interprétation serait en effet la seconde, qui est$$\forall x\forall x'((x\in X)\to((x'\in X)\to(x\neq x'\to f(x)\neq f(x')))),$$ou après simplifications,$$\forall x\forall x'((x\in X\land x'\in X)\to(x\neq x'\to f(x)\neq f(x'))).$$

Permettez-moi d'ajouter qu'en revanche,$(\exists x\in X)\varphi$est défini comme$\exists x(x\in X\land\varphi)$. C'est pourquoi vous vous êtes retrouvé avec un problème.

Answer 2

Si$f$vient avec un domaine$X$, alors l'injectivité doit être interprétée (conformément à votre deuxième interprétation):

$$\forall x,x': \left( x \in X \land x' \in X \land x \neq x' \right) \implies (f(x) \neq f(x')$$

ce qui rend en effet toute fonction sur un domaine vide videment injective. Celui que vous mentionnez après, qui a deux implications, est logiquement équivalent, comme Greg l'a également noté dans les commentaires$p \to (q \to r)$est logiquement équivalent à$(p\land q) \to r$.