Comment lire les équations de double intégrateur?

Question

D'après ce que j'ai compris, le double intégrateur est un modèle où une entité peut se déplacer selon une certaine vitesse, qui dépend de la force d'accélération exercée sur l'entité.

Si quelqu'un me demandait de représenter un tel modèle, avec $x$ la position de l'entité, $v$ sa vitesse, et $a$ son accélération, je l'écrirais aussi simplement:

$$ \dot{x} = v $$ $$ \ddot{x} = a $$

Cependant, ces relations ne semblent pas être les mêmes que celles données par la page Wikipédia (voir https://en.wikipedia.org/wiki/Double_integrator). Peut-être que j'ai des problèmes avec la notation. Que signifient exactement les équations suivantes, censées représenter un système à double intégrateur dans une seule dimension ?

$$ \ddot{q} = u(t) $$ $$ y = q(t) $$

$u$ est décrite comme l'entrée de commande, ce que je suppose est l'accélération, et $q$la sortie, quelle est la position de l'entité? Donc qu'est-ce$y$? Cela semble être égal à$q$, alors quelle est son utilité ici?

Answer 1

L'article de wikipedia est incohérent dans la notation et dans la forme.

En outre, l'article contient des équations de contrainte entre les degrés de liberté, ce qui complique encore la notation. Vous n'avez pas de telles considérations pour un problème de 1 DOF.

Alors prends ton exemple, avec $n=1$ DOF et considérez les quantités suivantes

• Les coordonnées généralisées sont vecteur de $n$ valeurs

  $$\boldsymbol{q} = \pmatrix{x} \tag{1}$$

• L'équation différentielle est donnée en termes de degrés de liberté en tant que système de $n$ équations

  $$ \ddot{\boldsymbol{q}} = \boldsymbol{\rm f}(t, \boldsymbol{q}, \dot{\boldsymbol{q}}) \tag{2}$$

  $$ \ddot{x} = {\rm f}(t,x,\dot{x}) $$

• En tant qu'ODE, ce qui précède est de second ordre et il est configuré comme l'intégration de deux variables (double intégrateur) afin d'être résolu. En tant que système de deux ODE de premier ordre, ce qui précède est exprimé par$2n$ équations.

  $$ \tfrac{\rm d}{{\rm d}t} \pmatrix{ \boldsymbol{q} \\ \boldsymbol{\dot{q}} } = \pmatrix{ \boldsymbol{\dot q} \\ \boldsymbol{\rm f}(t,\boldsymbol{q},\boldsymbol{\dot{q}}) } \tag{3}$$ $$ \tfrac{\rm d}{{\rm d}t} \pmatrix{x \\ v} = \pmatrix{v \\ {\rm f}(t,x,v)} $$

• Plus formellement avec un vecteur d'état $\boldsymbol{x} = \pmatrix{ \boldsymbol{q} \\ \boldsymbol{\dot q}}$le système d'équations ci-dessus est amené sous une forme plus canonique, ce que l'article aurait dû montrer

  $$ \tfrac{\rm d}{{\rm d}t} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{\rm u}(t, \boldsymbol{x}) \tag{4}$$

  $$ \begin{aligned} \dot{x} & = v \\ \dot{v} & = {\rm f}(t,x,v) \end{aligned}$$

  _{Notez que le vecteur d'état n'est pas un vrai vecteur en termes de physique, mais plutôt une construction mathématique.}

• Le système peut également décrire des contraintes qui relient différents degrés de liberté et leurs dérivées

  $$ \boldsymbol{y} = \boldsymbol{\rm g}(t, \boldsymbol{x}) \tag{5} $$

  mais cela ne s'applique pas à votre cas.

• Tout ce qui précède devient un peu plus formel lorsqu'il est exprimé en termes d'algèbre linéaire comme un système DAE ( équations différentielles et algébriques )

  $$ \tfrac{\rm d}{{\rm d}t} \boldsymbol{x} = \mathbf{A} \boldsymbol{x} + \boldsymbol{b} \tag{6} $$ $$ \boldsymbol{0} = \mathbf{G} \boldsymbol{x} + \boldsymbol{c} \tag{7} $$