Comment prouver la somme de 2 distribution gaussienne est aussi une distribution gaussienne en utilisant la fonction caractéristique [dupliquer]
Soit X et Y deux $ \mathcal{N}(0, 1) $distributions. Je dois prouver que pour$(a,b)\in \mathbb{R}^2 $, $ aX + bY $ est égal à $\mathcal{N}(0, a^2 + b^2)$.
J'essaie de faire cela en utilisant la fonction caractéristique d'une distribution gaussienne. $$ \phi_{aX + bY}(t) = \int_{\mathbb{R}}{ \mathbb{e}^{it(ax+by)}{\frac{1}{2} \mathbb{e}^{-\frac{x^2}{2}}} dx} $$
Je ne sais pas vraiment quoi faire car en changeant la variable je ne peux pas remplacer à la fois x et y. Des suggestions?
Réponses
Laisser $Z=aX+bY$. La fonction caractéristique de$Z$ est:
$\phi_Z(t)=E\{e^{itZ}\}=E\{e^{it(aX+bY)}\}=E\{e^{i(at)X}e^{i(bt)Y)}\}$
EDIT (Erreur bâclée ...) Si X et Y sont indépendants:
$\phi_Z(t)=E\{e^{i(at)X}\}E\{e^{i(bt)Y)}\}=\phi (at) \phi (bt)$,
où $\phi(w)=e^{-\frac{w^2}{2}}$est la fonction caractéristique de la distribution normale. Donc,
$\phi_Z(t)=e^{-\frac{1}{2}(at)^2}e^{-\frac{1}{2}(bt)^2}=e^{-\frac{1}{2}(a^2+b^2)t^2}$,
qui est la fonction caractéristique de la distribution normale $\mathcal{N}(0,a^2+b^2)$.