Comment prouver qu'une séquence est bornée

Question

Pour une séquence $\{x_n\}_{n\ge 1}$, laissez une séquence $\{y_n\}_{n\ge 1}$ être défini par la formule $$y_n = \dfrac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}n \ \forall n\in \Bbb{N}$$

Prouvez que si la séquence $\{x_n\}_{n\ge 1}$ est borné, il en est de même $\{y_n\}_{n\ge 1}$. (Rappelez-vous qu'une séquence$\{x_n\}_{n\ge 1}$ est borné s'il existe un nombre réel positif $M$ tel que $|x_n| < M$ $\forall n\in \Bbb{N}$ )

Answer 1

Car $\forall i \in \mathbb{N}, \ |x_i| < M$, puis $$\left|\dfrac{x_1 + x_2 + \ldots + x_n}n\right| \leqslant\frac{|x_1| + |x_2| + \ldots + |x_n|}{n} \leqslant\frac{M+M+\cdots+M}{n}=\frac{Mn}{n}=M$$

Answer 2

Pour chaque $n, x_n \in (-M,M)$, donc la moyenne du premier $n$ des éléments de {$x_n$} sera également dans $(-M,M)$