Compactifications en un point non-Hausdorff
Il s'agit d'une suite à cette question concernant les compactifications à un espace.
Rappelez d'abord quelques définitions. Une incorporation est une carte injective continue$c:X\to Y$ qui donne un homéomorphisme de $X$à son image. Une compactification de$X$ est une incorporation de $X$ en tant que sous-ensemble dense d'un espace compact $Y$. En identifiant$X$ avec son image en $Y$ il suffit d'étendre $X$ à un plus grand ensemble $Y$ Et donner $Y$ une topologie compacte telle que la topologie du sous-espace sur $X$ coïncide avec la topologie d'origine sur $X$.
Laisser $(X,\tau)$être un espace topologique non compact. Une compactification$X^*=X\cup\{\infty\}$ obtenu en ajoutant un seul point sera appelé une compactification en un point . ( Wikipédia semble réserver ce terme au cas de$X$Hausdorff localement compact. Dans ce cas, il existe une compactification unique en un point de Hausdorff de$X$. Mais j'utiliserai le terme plus généralement pour plus de commodité.)
Je suis intéressé à trouver la gamme de toutes les compactifications en un point possibles de $X$. Trouvez donc tous les moyens de donner une topologie compacte à$X^*$ qui induit la topologie d'origine sur $X$. Le fait que$X$ est dense dans $X^*$ suit automatiquement parce que $X$ n'est pas compact, il ne peut donc pas être fermé dans un espace compact.
Fait général: il est montré dans la question liée en haut que chaque nbhd ouvert de$\infty$ doit être le complément de $X^*$ d'un sous-ensemble compact fermé de $X$.
Je peux penser aux différents cas suivants de compactifications en un point:
L' extension Alexandroff de$X$ avec topologie $$\tau_1=\tau\cup\{(X\setminus C)\cup\{\infty\}:C\text{ is compact and closed in }X\}\;.$$ En commençant par la topologie sur $X$, nous avons ajouté autant de nbhds ouverts de $\infty$que possible. La carte d'inclusion de$X$ dans $X^*$est une intégration ouverte. Il s'agit de la plus grande topologie sur$X^*$ avec un encastrement ouvert.
La topologie d'extension ouverte donnée par $$\tau_2=\tau\cup\{X^*\}\;.$$ En commençant par la topologie sur $X$, nous avons ajouté un seul nbhd de $\infty$, à savoir tout l'espace. La carte d'inclusion est une incorporation ouverte. Il s'agit de la plus petite topologie sur$X^*$ avec un encastrement ouvert.
Toute topologie intermédiaire entre $\tau_1$ et $\tau_2$. $X$ sera également ouvert dans $X^*$ et la topologie contiendra tous $\tau$. Pour les nhbds de$\infty$ il faut choisir une sous-famille appropriée des compléments de tous les sous-ensembles compacts fermés de $X$. Par exemple, les compléments de tous les sous-ensembles compacts fermés finis, ou les compléments de tous les sous-ensembles compacts fermés dénombrables.
Ceux-ci devraient couvrir tous les cas de compactification en un point avec un encastrement ouvert. ($X$ est ouvert dans $X^*$ si et seulement si la topologie est activée $X^*$ contient tous $\tau$.)
Désormais, chaque compactfication en un point $X$toujours une intégration ouverte? Y a-t-il des exemples où$X$ n'est pas ouvert dans $X^*$? Quelles sont les conditions sur$X$ qui garantissent que les seules compactifications en un point sont celles ci-dessus?
Note latérale: on n'est généralement pas intéressé à prendre une compactification en un point d'un espace $X$c'est déjà compact. Mais je trouve toujours l'observation suivante à noter. Si$X$ est compacte, l'extension Alexandroff de $X$ ne sera pas une compactification, car $\infty$ est alors un point isolé et donc $X$ n'est pas dense dans $X^*$. Mais la topologie d'extension ouverte sur$X$ plus un point est toujours une compactification en un point (avec $X$ ouvrir dans $X^*$).
Si $X$est un espace à un point, il a exactement deux compactifications à un point. La topologie d'extension ouverte est l' espace de Sierpinski . L'autre est l'espace à deux points avec la topologie indiscrète, auquel cas l'incorporation n'est pas ouverte.
Réponses
Si $X$ n'est pas compacte, alors chaque compactification en un point de $X$est une intégration ouverte. En effet, supposons$X$ n'est pas ouvert dans une compactification en un point $X^*=X\cup\{\infty\}$. Cela signifie qu'il y a$x\in X$ de telle sorte que chaque quartier ouvert de $x$ dans $X^*$ contient $\infty$. Mais alors chaque quartier ouvert de$x$ contient un voisinage de $\infty$, et donc son complément est un sous-ensemble compact de $X$. Depuis$X$ est intégré dans $X^*$, cela signifie que chaque quartier ouvert de $x$ dans $X$a un complément compact. Mais cela implique$X$ est compact, car chaque couvercle ouvert de $X$ comprend un ensemble qui contient $x$, puis le complément de cet ensemble est couvert par un nombre fini d'autres ensembles dans la couverture.