Concept de statistiques de commande

Question

J'ai du mal à comprendre le concept de statistiques de commande. Si j'ai$X_1, \ldots, X_n$ variables aléatoires, je peux définir les statistiques d'ordre (qui sont aussi des variables aléatoires) $X_{(1)}, \ldots, X_{(n)}$ qui sont un tri de $X_1, \ldots, X_n$.
Je ne peux pas trier les variables aléatoires; au lieu de cela, je dois trier leurs réalisations. Donc, quand je trie ces réalisations, les variables aléatoires ne sont plus des fonctions puisqu'elles sont une valeur maintenant, (une réalisation), donc je ne comprends pas pourquoi$X_{(1)}, \ldots, X_{(n)}$sont des variables aléatoires, puisqu'elles sont un tri de réalisations. Est-ce que quelqu'un peut m'aider?

Answer 1

Comme je le vois, vous avez un problème uniquement avec la définition.

Notez que $X_1,...,X_n:\Omega \to \mathbb R$ sont des variables aléatoires (c'est-à-dire des fonctions mesurables).

Pour donné $\omega \in \Omega$, tu as certaines valeurs $X_1(\omega),...,X_n(\omega)$.

Ces certaines valeurs peuvent être triées (peut-être que le tri n'est pas unique). En d'autres termes, il existe une permutation$\pi_{\omega}:\{1,...,n\} \to \{1,...,n\}$ tel que:

$$ X_{\pi_{\omega}(1)}(\omega) \le ... \le X_{\pi_{\omega}(n)}(\omega)$$

Maintenant, le fait est que vous définissez $X_{(k)}:\Omega \to \mathbb R$ avec la formule: $$ X_{(k)}(\omega) = X_{\pi_{\omega}(k)}(\omega)$$

Answer 2

Ce sont la composition de fonctions mesurables avec le vecteur aléatoire $X=(X_{1}, \ldots X_{n})$, donc ce sont des variables aléatoires (puisque la composition d'une fonction mesurable avec une variable aléatoire est une variable aléatoire).

Prenons par exemple le cas $n=2$. Ensuite, nous avons deux variables aléatoires$X_1,X_2$, alors $X=(X_1,X_2)$est un vecteur aléatoire. Dans ce cas, votre$X_{(1)}$ serait $X_{(1)}=\min(X)$ et ton $X_{(2)}=\max(X)$. Les fonctions$g=\min$ et $h=\max$ sont mesurables, donc $X_{(1)}$ et $X_{(2)}$ sont des variables aléatoires.

Pour un générique $n$ vous envisageriez $n$ différentes fonctions mesurables $g_i$ cela vous donnerait le $i$-th plus grand composant de $X=(X_{1}, \ldots X_{n}$).

Answer 3

Comment définissez-vous la fonction "minimum de deux RV"? C'est ce que je ne comprends pas

Laisser $X,Y$ être deux VR indépendants

Définissons $U=min(X,Y)$

Pour caractériser un camping-car il suffit d'avoir son CDF, donc par définition

$$P(U>u)=P(X>u,Y>u)=\text{using independence}=P(X>u)P(Y>u)=[1-F_X(u)][1-F_Y(u)]$$

Donc

$$F_U(u)=1-[1-F_X(u)][1-F_Y(u)]$$

Answer 4

Le minimum de deux variables aléatoires est fonction de ces variables aléatoires, tout comme une variable aléatoire elle-même. C'est un concept similaire à la somme de deux variables aléatoires étant également une variable aléatoire.

Par exemple si $X_1$ et $X_2$ est-ce que je suis uniforme $[0,1]$ puis le minimum $X_{(1)}$ a une distribution sur $[0,1]$mais plus susceptible d'être faible que élevé. Sa densité sur cet intervalle s'avère être$f_{\min}(x)=2-2x$, tandis que le maximum $X_{(2)}$ a une densité de $f_{\max}(x)=2x$; les deux ne sont pas indépendants et dans cet exemple ont une corrélation de$+0.5$.

Answer 5

Si vous ne triez pas les camping-cars, ce ne sont pas des statistiques de commande.

Prenons l'exemple suivant.

Laisser $X,Y$ être iid uniforme $U(0;1)$ leurs réalisations peuvent prendre n'importe quelle valeur $(0,;1)$indépendamment, mais lorsque les réalisations sont faites, vous pouvez toujours les trier. Ce ne sont pas des statistiques d'ordre. Selon l'indépendance, leur covariance est$Cov(X,Y)=0$

Maintenant allons $X,Y$ être le même camping-car $U(0;1)$ mais maintenant laisse $X$être le minimum des deux variables aléatoires. Maintenant, ils sont classés donc ce sont des statistiques de commande. Leur covariance n'est pas nulle mais$\frac{1}{36}$