Concernant la notation des sous-ensembles

Question

Disons qu'il y a un sous-ensemble dans l'espace vectoriel $ℝ^4$ désigné par ce qui suit:

$$\left\{(x_1, x_2, x_3, x_4) ∈ ℝ^4 : x_1 + 5x_2 - x_3 + x_4 = 0\right\}$$

En termes simples, que signifie cette déclaration? Je comprends qu'il y a quatre éléments du sous-ensemble et qu'ils sont tous dans le sous-espace de l'espace vectoriel$ℝ^4$, mais la dernière partie de l'énoncé n'est pas une notation que je connais.

Answer 1

Il y a quelques points à mentionner ici. Premièrement, l'expression entre accolades n'est pas une déclaration en soi, mais plutôt une expression décrivant ce qu'est le sous-ensemble / sous-espace. En termes simples, l'expression désigne l'ensemble de tous les points de$\mathbb R^4$ (pour commencer, pensez à $\mathbb R^4$comme un espace à quatre dimensions) de telle sorte que le premier composant plus cinq fois le deuxième composant moins le troisième composant plus le quatrième composant soit nul. Il existe une infinité de ces points. Par exemple, le point$(4, -1, 1, 2)$en est un exemple, et vous devriez essayer d’y réfléchir davantage. Donc, quand vous dites qu'il y a quatre éléments du sous-ensemble, il y en a en fait une infinité! De plus, le sous-ensemble est tridimensionnel, car$$\left[ \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{c} -5x_2+x_3-x_4 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{array} \right] = x_2\left[ \begin{array}{c} -5 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right] + x_3\left[ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right]+x_4\left[ \begin{array}{c} -1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{array} \right]$$Enfin, veillez à garder à l'esprit la distinction entre sous-ensemble et sous-espace. Il s'avère que le sous-ensemble en question est également un sous-espace de$\mathbb R^4$.

Answer 2

Très souvent, les deux points au milieu de cette expression peuvent être lus "tels que".

La partie à gauche vous indique le type d'éléments de l'ensemble - ici, ils sont ordonnés en quadruples de nombres réels.

La partie à droite exprime les conditions - ici qu'une combinaison linéaire spécifique des coordonnées est égale à zéro.

On pourrait lire "l'ensemble des quadruples ordonnés de nombres réels tels que cette combinaison linéaire de composants est égale à zéro" ou (plus naturellement ici) "l'ensemble des quadruplets ordonnés de nombres réels avec la propriété que cette combinaison linéaire de composants est égale à zéro ".