Confusion quant à l'utilisation de l'induction pour vérifier si une séquence augmente

Question

On me dit de montrer que la séquence récursive $a_1=1$,$a_n=\left( \frac{a^3_{n-1}+4a_{n-1}}{2} \right)^{\frac{1}{3}}$ augmente depuis $n \geq 2$.

Le cas de base est trivial. $a_1=1$ et $a_2=\left(\frac{5}{2}\right)^{\frac{1}{3}}$ donc évidemment, $a_2 > a_1$.

Pour l'hypothèse d'induction, $a_k > a_{k-1}$ pour tous $n=k$.

Et puis pour l'étape d'induction. Je commence comme ça:

$a_k>a_{k-1}$

$a^3_k>a^3_{k-1}$

$a^3_k+4a_k>a^3_{k-1}+4a_{k-1}$

Et je viens de finir de le construire. Banal.

Mais le problème est que je viens d'ajouter $4a_k$ et $4a_{k-1}$des deux côtés. J'ai donc ajouté des quantités différentes des deux côtés. Je ne sais pas vraiment si j'ai le droit de le faire.

Si je ne peux pas faire cela, comment procéder?

Pour la partie b), je dois montrer que $1\leq a_n\leq3$.

Encore une fois, le cas de base est trivial. Évidemment$1\leq 1\leq3$.

Pour l'hypothèse d'induction $1\leq a_k\leq3$ pour tous $n=k$.

Mais alors pour l'étape d'induction, je rencontre le même problème.

$1\leq a_k \leq 3$

$1 \leq a^3_k \leq 27$

$1+4a_k \leq a^3_k + 4a_k \leq 27+4a_k$

Je pourrais continuer mais les deux côtés de l'inégalité ne correspondent pas à la séquence originale. Je ne suis donc pas sûr de ce que je fais de mal, le cas échéant.

Quelqu'un peut me diriger dans la bonne direction? Merci!

Answer 1

Vous êtes autorisé à ajouter deux inégalités si elles pointent dans la même direction.

Supposer $a>b$ et $c>d$.
ensuite$a+c>b+c$ (ajoutée $c$ à la première inégalité) et $b+c>b+d$ (ajoutée $b$à la seconde).
En les combinant, vous obtenez$a+c>b+d$.
Fondamentalement, chaque terme à gauche est supérieur au terme correspondant à droite, donc la somme à gauche est également supérieure à la somme à droite.

Pour la partie b vous avez: $$1+4a_k \leq a^3_k + 4a_k \leq 27+4a_k$$ Vous pouvez utiliser les inégalités de l'induction pour supprimer les $a_k$ terme des expressions extérieures: $$ 27+4a_k \leq 27+4\cdot3 = 39$$ et $$ 5 = 1+4\cdot 1 \leq 1+4a_k$$ qui te donne $$\frac52 \leq \frac{a^3_k + 4a_k}2 \leq \frac{39}2$$ et comme la racine cubique est une fonction croissante, vous obtenez $$\left(\frac52\right)^{1/3} \leq \left(\frac{a^3_k + 4a_k}2\right)^{1/3} \leq \left(\frac{39}2\right)^{1/3}$$ et le résultat suit.