construction de l'homotopie

Question

Laisser $X,Y$ être des espaces topologiques et $f,g:X \rightarrow Y$être des cartes continues. Supposer$f,g$ sont homotopes par une homotopie $H:X \times [0,1] \rightarrow Y$. Laisser$\gamma$ être un chemin dans $Y$ avec des points de terminaison $y_0=f(x_0)$ et $z_0=g(x_0)$ Défini par $\gamma(t)=H(x_0,t)$.
Laisser$\alpha:[0,1] \rightarrow X$ être une boucle dans $X$ avec $\alpha(0)=\alpha(1)=x_0$.
Je voudrais montrer que les chemins$f \circ \alpha$ et $\gamma \ast ((g \circ \alpha) \ast \bar{\gamma})$ sont des chemins homotopes en construisant une homotopie $G:[0,1] \times [0,1] \rightarrow Y$.
je le sais$\gamma$ induit un changement d'isomorphisme du point de base $T_{\gamma}:\pi_1(Y;z_0) \rightarrow \pi_1(Y;y_0)$ donné par $T_{\gamma}([\beta])=[\gamma \ast \beta \ast \bar{\gamma}]$ pour tous $[\beta]\in \pi_1(Y;z_0)$.
Je ne sais pas comment construire cette homotopie$G$ spécifiquement, mais je sais qu'il doit satisfaire aux conditions suivantes: $$G(s,0)=(f \circ \alpha)(s)$$ $$G(s,1)=(\gamma \ast ((g \circ \alpha) \ast \bar{\gamma}))(s)$$ $$G(0,t)=(f \circ \alpha)(0)=(\gamma \ast ((g \circ \alpha) \ast \bar{\gamma}))(0)$$ $$G(1,t)=(f \circ \alpha)(1)=(\gamma \ast ((g \circ \alpha) \ast \bar{\gamma}))(1).$$

Answer 1

THÉORÈME: Laissez $h:X \to Y$être une fonction continue. Si$α,β$ sont des chemins homotopiques dans $X$ puis $hoα$ et $hoβ$ sont homotopes dans $Y$.
On nous donne qu'il existe une carte continue$H:X×I \to Y$ tel que $H(x,0)=f(x)$ et $H(x,1)=g(x)$.
Par conséquent, pour montrer que les chemins$foα$ et $\gamma \ast (goα) \ast \hat \gamma$ sont homotopiques nous devons chercher des chemins dans $X×I$ telle que leur image sous H est $foα$ et $\gamma \ast (goα) \ast \hat \gamma$.
Laisser$c(t)=(x_0,t)$, $p(s)=(α(s),0)$, $q(s)=(α(s),1)$. Par conséquent$p$ et $c \ast q \ast \hat c$sont nos chemins requis.
Maintenant, laisse$G:I×I \to X×I$ être défini comme $G(s,t)=(α(s),t)$. Maintenant, si nous pouvons trouver des chemins dans$I×I$ de telle sorte que leur image sous G soit $p$ et $c \ast q \ast \hat c$ nous avons fini parce que cela signifie $p$ et $c \ast q \ast \hat c$sont homotopiques.
Laisser$a(t)= (0,t)$, $b(s)=(s,1)$, $c(t)=(1,t)$ et $d(s)=(s,0)$.
On peut voir que$d$ et $a \ast b \ast \hat c$sont les chemins requis. Maintenant puisque ces deux chemins$d$ et $a \ast b \ast \hat c$ ont le même point initial et terminal et depuis $I×I$est simplement connecté, ils sont homotopes. Implique$p$ et $c \ast q \ast \hat c$ sont homotopes implique $foα$ et $\gamma \ast (goα) \ast \hat \gamma$ sont homotopiques.