Convergence en question de probabilité.

Question

Laisser $\lambda_n = 1/n$ pour $n=1,2,\ldots$. Laisser$X_n \sim Poi(\lambda_n)$. Montrez que a)$X_n \rightarrow_P 0$. b) Soit$Y_n = nX_n$. Montre CA$Y_n \rightarrow_P 0$ (où $\rightarrow_{P}$ dénote une convergence de probabilité)

La partie a) est relativement simple car nous savons que $\mathbb{E}(X_n) = \lambda_n = 1/n$ et $\mathrm{var}(X_n) = \lambda_n = 1/n$. Nous savons que depuis$X_n >0$ cette $|X_n| = X_n$. Puis de l'inégalité de Chebyshevs nous savons que$$P(X_n >\epsilon) \leq \frac{\mathrm{var}(X_n)^2}{\epsilon^2} = \frac{1}{n^2\epsilon^2} \rightarrow 0\;\mathrm{as\;}n \rightarrow \infty. $$

Pour la partie b), je ne peux pas utiliser cette même approche que $\mathbb{var}(Y_n) = n^2*1/n = n$. Je sais aussi que la convergence en moyenne quadratique implique une convergence en probabilité mais$\mathbb{E}(Y_n - 0)^2 = n^2(\mathbb{E}(X_n^2)) = n^2(1/n + 1/n^2) \not \rightarrow \infty$ comme $n \rightarrow \infty$. Des idées?

Answer 1

Si vous ne connaissez pas (encore) les fonctions caractéristiques, vous pouvez utiliser le fait que $$P(nX_{n}=0)=P(X_{n}=0)=e^{\frac{1}{n}} \rightarrow 1 $$ puisque la distribution de Poisson est une distribution discrète avec des valeurs dans $\mathbb{N} \cup \{0\}$

Answer 2

Une façon de prouver que $nX_n \to 0$en probabilité est d'utiliser des fonctions caractéristiques. Rappeler que$Ee^{itX_n}=e^{-(\frac 1 n) (1-e^{it})}$. Par conséquent$Ee^{itnX_n}=e^{-(\frac 1 n) (1-e^{int})} \to 1$ comme $ n \to \infty$. Ceci implique que$nX_n \to 0$ en distribution qui équivaut à une convergence de probabilité.