Convergence uniforme de $p$-normes

Question

Considérons, pour $p\ge1$, la $p$-norme $\|\cdot\|_p:\Bbb C^n\to[0,+\infty)$, Défini par $\|x\|=\sqrt[p]{|x_1|^p+\ldots+|x_n|^p}$, où $x=(x_1,\ldots,x_n)\in\Bbb C^n$.

Je sais que pour tout $x\in\Bbb C^n$ nous avons ça $\displaystyle\lim_{p\to\infty}\|x\|_p=\|x\|_\infty$, où $\|x\|_\infty=\max(|x_1|,\ldots,|x_n|)$. Donné$x\in\Bbb C^n$, au lieu de $\|x\|_p$ nous pourrions envisager $\|x\|_k$ pour $k\in\Bbb N$, donc nous avons une séquence $(\|x\|_k)_{k\in\Bbb N}$ qui converge vers $\|x\|_\infty$. Cela signifie que la séquence de fonctions$f_k=\|\cdot\|_k$ converge point par point vers $f=\|\cdot\|_\infty$.

Ma question est de savoir si cette séquence converge également uniformément. Je ne pense pas, mais je n'ai pas pu obtenir de contre-exemple. Des idées?

Merci d'avance.

Answer 1

J'ai finalement eu une contradiction: supposons $f_k$ converge uniformément vers $f$ et en prendre $\varepsilon>0$. Puis il y a quelques$m\in\Bbb N$ tel que $\big|\|x\|_k-\|x\|_\infty\big|<\epsilon\quad\forall x\in\Bbb C^n\quad\forall k\ge m$.

Considérer $x=(l,\ldots,l)\in\Bbb C^n$ avec $l\in\Bbb N$. ensuite$\big|\|x\|_k-\|x\|_\infty\big|=\big|\sqrt[k]{l^k+\ldots+l^k}-\max(l,\ldots,l)\big|=\big|\sqrt[k]n\,l-l\big|=(\sqrt[k]n-1)l$, depuis $\sqrt[k]n-1\ge0$ pour tous $k$.

Prise $k=m$ on a $\big|\|x\|_m-\|x\|_\infty\big|=(\sqrt[m]n-1)l<\varepsilon$ par hypothèse, mais $(\sqrt[m]n-1)l\xrightarrow{l\to\infty}+\infty$, ce qui est clairement une contradiction. Par conséquent, la convergence n'était pas uniforme.