Coordonnées conformes sur la surface

Question

Supposer $\Omega$ est un domaine dans $R^2$, laisser $F: \Omega\rightarrow R^3$ être une carte fluide telle que $F(\Omega)$est une surface lisse. La métrique en surface est$$g=F_x\cdot F_x dx^2+2F_x\cdot F_y dxdy+F_y\cdot F_y dy^2$$ Avons-nous un autre système de coordonnées tel que la métrique est $g=\rho(u,v)(du^2+dv^2)$? J'ai trouvé quelque chose sur les coordonnées isothermes en ligne. D'après ce que je comprends, ces résultats sont locaux. Pouvons-nous le trouver dans son intégralité$\Omega$? Je ne sais pas si la topologie (simplement connectée, etc.) affecte le résultat.

Answer 1

Supposons que $\partial\Omega$est lisse. Puis comme$\Omega\subset \mathbb{R}^2$, on sait qu'après avoir `` rempli les trous '' on obtient un genre $0$surface et cette réponse s'applique et garantit l'existence d'une carte harmonique$u:\Omega\rightarrow\mathbb{R}$sans points critiques. ensuite$*du$ est une forme unique fermée (où $*$ est la star de Hodge pour la métrique pull-back $g =F^*\langle\cdot,\cdot\rangle_{\mathbb{R}^3}$).

Si $*du$ se trouve être exact, alors nous avons $*du=dv$ pour un fonctionnement fluide $v:\Omega\rightarrow \mathbb{R}$. Exactitude de$*du$ suit par exemple si $\Omega$ est simplement connecté (ou plus généralement si $H^1(\Omega,\mathbb{R})=0$). ensuite$(u,v):(\Omega,g)\rightarrow \mathbb{R}^2$vous donnera des coordonnées isothermes globales , ce qui est exactement ce que vous voulez.