Définition de l'intégration d'une forme différentielle (John Lee)

Question

Dans le chapitre 16 du livre de John Lee, Introduction to Smooth Manifolds , il définit les intégrales sur des sous-espaces de$\mathbb R^n$ comme suit:

Si $D\subseteq\mathbb R^n$ est un sous-ensemble borné dont la limite a la mesure zéro, et si $\omega$ est un continu $n$-form sur $\overline D$, puis écrire $\omega=fdx^1\wedge\dots\wedge dx^n$ pour une fonction continue $f:\overline D\to\mathbb R$. Puis l'intégrale de$\omega$ plus de $D$ est $$\int_D\omega=\int_DfdV.$$

Ma question (peut-être stupide) est: pourquoi $\omega$ doivent être définis sur $\overline D$? Cela ne devrait-il pas être suffisant pour$\omega$ être un continu $n$-form défini sur $D$?

Answer 1

Comme mentionné par Angina Seng, lorsque vous définissez l'intégration, vous souhaitez généralement traiter des fonctions définies sur des ensembles compacts. Le comportement "échapper à l'infini" n'est pas possible si l'on considère des ensembles compacts. En effet, dans n'importe quelle dimension, nous rencontrons un problème en utilisant une fonction comme$\frac{1}{\lvert x\rvert}$ défini sur $$\Omega=(B_1(0)\setminus \{0\})\subseteq \Bbb{R}^n.$$ Puis l'intégrale $$ \int_\Omega\frac{1}{\lvert x\rvert}dx^1\cdots dx^n$$ne produira pas un résultat raisonnable. Si vous voulez vraiment travailler avec des ensembles ouverts, vous pouvez échapper à ce problème en introduisant des formulaires avec un support compact, mais cela restreindra votre classe de formulaires admissibles.