Définition définitive positive

Question

Je regarde les notes sur http://www.math.sci.hokudai.ac.jp/~s.settepanella/teachingfile/Calculus/Calculus1/pagine/lecture8.pdf.

Il dit que ce qui suit est équivalent pour un symétrique $H$:

(1) $H$ est défini positivement.

(2) $x^THx > 0$

(3) $\lambda_i(H) > 0$

(4) $\det(H) > 0$ ! ??????

(5) Entrées diagonales de $H_{ii}$ sont positifs! ?????

(4) et (5) ne semblent pas appartenir. (4) est une condition nécessaire pour$H$être positif défini, mais pas suffisant. Considérez un$2 \times 2$matrice à 2 valeurs propres négatives. La matrice n'est pas définie positive mais a un déterminant positif. En fait, je n'ai jamais entendu parler de (5) auparavant, sauf si nous parlons de matrice diagonale. Est-ce que celui-ci n'est pas faux aussi?

Answer 1

(4) est faux. Pour un contre-exemple, considérez$H = -I$ où $I$ est le $2\times 2$matrice d'identité. Alors pour tout non nul$x$, nous avons $x^T H x = -x^T x < 0$, alors $H$ n'est pas défini positivement.

(5) est également faux. Considérer$H = \displaystyle \begin{pmatrix}1 & 2\\ 2 & 1\end{pmatrix}$, qui a un déterminant $-3$. Cela signifie qu'une de ses valeurs propres est négative; en particulier,$\lambda = -1$ est une valeur propre avec, par exemple, un vecteur propre $x = \displaystyle \begin{pmatrix}1 \\ -1\end{pmatrix}$. ensuite$x^T H x = x^T(Hx) = x^T(\lambda x) = -x^T x < 0$, alors $H$ n'est pas défini positivement.