Définition du produit vectoriel (croisé)

Question

On m'a donné la définition suivante du produit croisé:

Le produit vectoriel $\underline{a}\times\underline{b}$ est défini comme le vecteur de magnitude $\lvert\underline{a} \times \underline{b}\rvert = \vert\underline{a}\rvert\lvert\underline{b}\rvert \sin{\theta}$ et direction perpendiculaire aux deux $\underline{a}$ et $\underline{b}$, avec $\theta$ l'angle mesuré à partir de $\underline{a}$ à $\underline{b}$

Je crois comprendre que nous mesurons les angles dans le sens inverse des aiguilles d'une montre par convention. Et donc si nous devions essayer de calculer$\underline{\hat{j}}\times\underline{\hat{i}}$ par exemple, l'angle entre ces deux vecteurs serait $\frac{3\pi}{2}$ et donc par la définition ci-dessus, nous avons que la magnitude de $\underline{\hat{j}}\times\underline{\hat{i}}$ est $-1$ ce qui est impossible car les magnitudes des vecteurs doivent être non négatives.

Je sais que je vais mal avec ma compréhension ici quelque part, je ne comprends tout simplement pas où précisément.

(De plus, je comprends la convention de la main droite et le fait que $\underline{\hat{j}}\times\underline{\hat{i}} = -\underline{\hat{i}}\times\underline{\hat{j}}$. Cependant dans ce cas, ce n'est pas que la grandeur soit opposée, c'est la direction qui est opposée.)

Answer 1

La définition citée est imprudente: $|a\times b|=|a||b|(\sin\theta)c$ où $c\cdot c=1$ et $a,\,b,\,c$forment un système droitier. Le résultat est parallèle à$c$si le sinus est positif, antiparallèle à$c$ si le sinus est négatif, et le vecteur zéro si le sinus est nul.

Answer 2

Le produit croisé peut également être défini comme une cartographie de $\vec a$ et $\vec b$à une fonction $\vec x\mapsto \det(\vec a,\vec b, \vec x)$.

Cette fonction a des propriétés qui en font un homomorphisme de l'espace vectoriel vers le champ sous-jacent (généralement$\Bbb R$ ou $\Bbb C$).

Pour les espaces vectoriels de dimension finie, il existe une bijection (en fait, un autre homomorphisme) qui met en correspondance ces fonctions avec l'espace vectoriel, ce qui les identifie avec des vecteurs (comme l'a souligné John Hughes, co-vecteurs).

Ce type de vision du produit croisé ouvre également des moyens de le généraliser à des dimensions supérieures à la simple 3D.