Définition du transport parallèle
La définition du transport parallèle est $t^iD_i u^j=0$, où $\vec{t}$ est le vecteur tangent à la courbe et $\vec{u}$est le vecteur transporté parallèlement le long de la courbe. Dans un espace plat, en utilisant la définition ci-dessus, nous avons$t^i \partial_i u^j=0$, et généralement des moyens de transport parallèles $\partial_i u^j=0$, ce qui suggère que tous les composants en coordonnées plates sont constants. Cependant, de$t^i \partial_i u^j=0$, il semble que tant que le changement de vecteur $\vec{u}$ est perpendiculaire au vecteur tangent $\vec{t}$, c'est aussi une solution. Cela ne conduirait-il pas à une ambiguïté sur la définition du transport parallèle?
Réponses
$t^i \partial_i u^j$ est la dérivée directionnelle de $u^i$ en direction de $t^i$. Être nul est la condition du transport parallèle le long d'une courbe : vous n'avez pas besoin de toutes les dérivées partielles de$u^i$ être zéro, car vous ne vous souciez pas de ce qui se passe si vous ne vous déplacez pas dans la direction de $t^i$.
La composante du changement de $u^i$ en direction de $t^i$, cependant, est $t_j \partial_i u^j$. Notez que c'est le$u$ index contracté avec $t$, pas le dérivé. Ceci est dû au fait$t$ ne vous dit pas dans quelle direction prendre le dérivé (pour avoir un dérivé directionnel, nous aurions besoin d'un $t^i$), mais dans quelle direction vous projetez le résultat du dérivé. Ainsi, comme vous l'avez noté, vous pouvez avoir un champ vectoriel qui n'est pas transporté en parallèle mais pour lequel il est toujours nul.
Il n'y a pas de somme sur $j$ dans $t^i \partial_i u^j=0$. Ce sont quatre équations (en 4D) qui expriment la constance de chaque composant de$u$ le long de la courbe. $\partial_i u^j=0$ est seize équations qui expriment la constance de chaque composante de $u$ dans tous les sens.