Définitions équivalentes du cône de second ordre / de Lorentz
J'ai rencontré deux définitions différentes du cône de second ordre / Lorentz. Le premier est le formulaire standard où$t$ est un scalaire et $\mathbf{y} \in \mathbb{R}^n$. $$ \mathcal{C}_1 = \bigg\{ \begin{bmatrix}\mathbf{y} \\ t\end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{n+1}: t \ge \lVert \mathbf{y}\rVert_2\bigg\} $$
La deuxième définition est tirée de cet article . Ici, le cône est défini pour$\mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n+1}$. $$ \mathcal{C}_2 = \big\{\mathbf{x} : \mathbf{x}^{\sf T} \mathbf{1} \ge \sqrt{n}\lVert \mathbf{x}\rVert_2 \big\} $$
Sont $\mathcal{C}_1$ et $\mathcal{C}_2$ le même?
Réponses
L'axe du premier cône est dans la direction $(0,0,\ldots,0,1)$, tandis que l'axe du deuxième cône est dans la direction $(1, 1, \ldots, 1)$. Il existe également une différence d'échelle dans la netteté du cône (le facteur$\sqrt{n}$).