Demande de référence pour une résolution

Question

Laisser $S:=k[t_0,t_1,\dots,t_n]$ et $f\in S$ être un polynôme de degré irréductible et homogène $d$. Dénoter par$R:=S/(f)$. Rappelons que le différentiel de Kähler de$R$ est le $R$-module $\Omega^1_{R/k}$ qui est universelle parmi toutes les dérivations sur $R$. Dans notre cas ici, une construction d'un tel différentiel est donnée par ce qui suit

$\Omega^1_{R/k}=(\bigoplus_{i=1}^nR\cdot dt_i)/(\bar{df})$

où $df:=\sum_{i=1}^n f_{t_i}dt_i$ et $f_{t_i}:=\dfrac{\partial f}{\partial t_i}$ est la dérivée partielle formelle de $f$ par rapport à $t_i$. Si$k$ est un champ, alors $\Omega^1_{R/k}$ a un classement naturel comme un $k$-algèbre, avec chacun $dt_i$de degré un homogène. Il y a la résolution graduée suivante que j'ai rencontrée dans un article:

$0\rightarrow R(-d)\rightarrow \bigoplus_{i=1}^{n+1}R(-1)\rightarrow \Omega^1_{R/k}\rightarrow 0$

où la carte de gauche est la multiplication avec $(f_{t_0}, f_{t_1}, \ldots ,f_{t_n})$ et la carte de droite envoie chaque homogène $n$-tuple $(p_0, p_1, \ldots ,p_n)$ à $\sum_{i=0}^{n}{p_i}dt_i$.

Question : Je crois que cette résolution est bien connue en algèbre homologique. Y a-t-il un nom ou une référence appropriée dans un manuel qui met en évidence cette résolution?

Merci d'avance.

Answer 1

Suite au commentaire de Mohan, j'ai réussi à découvrir l'origine de la résolution. Je publie donc la réponse en élaborant son commentaire ici au cas où quelqu'un d'autre serait intéressé à le savoir.

La résolution est une présentation plus simple de la séquence exacte classique reliant $\Omega^1_{S/k}$ et $\Omega^1_{R/k}$ (ou géométriquement liés $\Omega^1_{\mathbb{A}^{n+1}/k}$ et $\Omega^1_{Spec\,R/k}$) comme trouvé dans Hartshorne (voir Ch. II, Proposition 8.4A). Pour être plus précis, nous avons le diagramme commutatif suivant dans la catégorie des$R$-modules $\require{AMScd}$ \ begin {CD} (f) / (f ^ 2) @> \ delta >> \ Omega ^ 1_ {S / k} \ otimes_SR @ >>> \ Omega ^ 1_ {R / k} @ >>> 0 \ \ @V \ wr VV @V \ wr VV @ V1 _ {\ Omega ^ 1_ {R / k}} VV \\ R (-d) @ >> \ varphi> \ bigoplus_ {i = 1} ^ {n + 1 } R (-1) @> \ psi >> \ Omega ^ 1_ {R / k} @ >>> 0 \ end {CD}

où les premier et deuxième isomorphismes verticaux (gradués) sont donnés par le

$gf\mapsto g\,\,,\,\,(\sum_{i=0}^np_idt_i)\otimes g\mapsto (p_0g,p_1g,\dots,p_ng)$

respectivement, tandis que la carte $\varphi$ et $\psi$comme indiqué dans la publication originale ci-dessus. Comme$f$ est irréductible, la carte $\delta$est alors injective. Ainsi, la résolution graduée est en fait la présentation la plus simple de la séquence exacte classique (courte).