Dérivée directionnelle et gradient d'une fonction différentiable

Question

Laisser $u = f(x,y,z)$ être une fonction différentiable dans $\mathbb{R^3}$

Étant donné que la fonction satisfait: $f(x,y,x^2 + y^2) = 2x+y$ pour tous $x,y$
Et la dérivée directionnelle du point $(0,2,4)$ dans la direction: $(-2,1,2)$ est égal à $-\frac{5}{3}$.
Calculer:$\nabla f(0,2,4)$

Mon essai jusqu'à présent:
j'ai d'abord normalisé le vecteur:$\frac{(-2,1,2)}{||(-2,1,2)||} = (-\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3})$

nous savons que $f(0,2,4) = f(x,y,x^2 + y^2)$ car $x=0, y=2 , x^2+y^2 = 4$ et donc:

$f(0,2,4) = 2 \cdot 0 + 2 = 2$.

Par la définition: $\frac{\partial f}{\partial (-2,1,2)}(0,2,4) = -\frac{5}{3} \Rightarrow \nabla f(0,2,4) \cdot (-\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}) = -\frac{5}{3}$

Même par la définition, je suis coincé:

$\nabla f(0,2,4) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f( (0,2,4) + h(-2,1,2)) - f(0,2,4)}{h} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(-2h,2+h, 4+2h) - 2}{h}$

Parce que le point $(-2h,2+h, 4+2h)$ ne satisfait pas que $x^2 + y^2 = z$ (coordonnées) ...

Le problème est que je ne sais pas comment trouver le gradient de ce point, car la fonction n'est pas donnée sous sa forme explicite .. J'apprécierais votre aide, merci!

Answer 1

Pour simplifier, je désignerai $\nabla f(0,2,4) = (f_x(0,2,4), f_y(0,2,4) , f_z(0,2,4)) = (a,b,c)$

Vous devez utiliser la règle de la chaîne sur ce fait connu $f(x,y,x^2+y^2) = 2x+y$:

$$\frac{ \partial }{\partial x}f(x,y,x^2+y^2) = f_x(x,y,x^2+y^2) \cdot \frac{\partial}{\partial x}x + f_y(x,y,x^2+y^2) \cdot \frac{\partial}{\partial x}y + f_z(x,y,x^2+y^2) \cdot \frac{\partial}{\partial x}(x^2 + y^2) = \overbrace{f_x(x,y,x^2+y^2) +2xf_z(x,y,x^2+y^2)}^{\text{left side}} = \overbrace{\frac{ \partial }{ \partial x}(2x+y)}^{\text{right side}} = 2$$

Vous voulez trouver $\nabla f(0,2,4)$ et ainsi nous pouvons remplacer:

$$f_x(0,2,4) + 0 = a = 2$$

$2x \cdot f_z(0,2,4) = 0$ parce qu'il est multiplié par le $x$ valeur - qui est $0$.

Même chose pour $\frac{\partial}{\partial y}$:

$$\frac{ \partial }{\partial y}f(x,y,x^2+y^2) = f_x(x,y,x^2+y^2) \cdot \frac{\partial}{\partial y}x + f_y(x,y,x^2+y^2) \cdot \frac{\partial}{\partial y}y + f_z(x,y,x^2+y^2) \cdot \frac{\partial}{\partial y}(x^2 + y^2) = f_y(x,y,x^2+y^2) +2yf_z(x,y,x^2+y^2) = \frac{ \partial }{ \partial y}(2x+y) = 1$$

Et gardez donc à l'esprit cette équation (1): $$ \fbox{b+4c =1}$$

Nous pouvons maintenant utiliser le fait que la dérivée directionnelle à $(-2,1,2)$ à ce point $(0,2,4)$ est $-\frac{5}{3}$ par définition, la dérivée directionnelle de cette fonction différentiable au point et à la direction donnés est:

$$ \nabla(0,2,4) \cdot ( -\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3}) = - \frac{5}{3}$$

Rappeler que $\nabla f(0,2,4) = (a,b,c)$:

$$ - \frac{2a}{3} + \frac{b}{3} + \frac{2c}{3} = - \frac{5}{3}$$

$$ -2a +b +2c = -5$$

Nous avons trouvé que $a=2$:

$$ \fbox{ b + 2c = -1}$$

Maintenant, nous avons un ensemble de deux équations avec deux inconnues, cela devrait être une avance rapide:

$$ \left\{\begin{matrix} b+4c =1\\ b + 2c = -1 \end{matrix}\right.$$

On comprend ça $$a=2, ~~~~ b = -3 , ~~~~ c = 1$$

Et donc la réponse est:

$$ \nabla f(0,2,4) = (2,-3,1)$$