Dérivées partielles implicites

Question

Dis que j'ai une fonction $F(P,V,T) = 0 $. Utilisation de la règle de la chaîne:$$dF = \frac{\partial F}{\partial P}dP + \frac{\partial F}{\partial V}dV + \frac{\partial F}{\partial T}dT$$ Or, si P est constant, on a $dP = 0$ et $dF = 0$ bien sûr, parce que $F$est une constante (0). On a:$$dF = \frac{\partial F}{\partial V}dV + \frac{\partial F}{\partial T}dT = 0 \implies (\frac{dV}{dT})_P = - \frac{\frac{\partial F}{\partial T}} {\frac{\partial F}{\partial V}}$$Et c'est vrai en général? Corrigez-moi si je me trompe s'il vous plaît. Maintenant, si nous avons une expression explicite pour$P(T,V)$ on peut aussi dire pour la constante P: $$ (\frac{dV}{dT})_P = - \frac{\frac{\partial P}{\partial T}} {\frac{\partial P}{\partial V}}$$ MAIS les résultats ne sont pas toujours les mêmes, pourquoi? P, V et T doivent-ils être indépendants l'un de l'autre pour que la première dérivation soit correcte? Je suis vraiment confus et je serai heureux d'avoir des explications sans devenir trop rigoureux.

Edit: Exemple (de la physique):

Dire:$$F(P,V,T)=PV-PNb+\frac{aN^{2}}{V}-\frac{aN^{3}b}{V^{2}}-Nk_{B}T=0$$

Nous pouvons résoudre pour P:

$$P = N\left(\frac{K_{B}T}{V-Nb}-\frac{aN}{V^{2}}\right)$$

Nous obtenons maintenant: $$- \frac{\frac{\partial F}{\partial T}} {\frac{\partial F}{\partial V}} \neq - \frac{\frac{\partial P}{\partial T}} {\frac{\partial P}{\partial V}} $$

Answer 1

Réponse courte

Ce sont les mêmes, y compris dans votre exemple. Soit vous avez mal fait l'algèbre, soit vous avez oublié une étape clé à la fin.

Longue réponse

Oui, vos pensées sont correctes. Si tu peux écrire$P$ en fonction, alors pour constante $P$ satisfaisant $F(P,V,T)=0$, Nous n'avons$\dfrac{\mathrm dV}{\mathrm dT}=-\dfrac{\frac{\partial P}{\partial T}}{\frac{\partial P}{\partial V}}=-\dfrac{\frac{\partial F}{\partial T}}{\frac{\partial F}{\partial V}}$.

Exemple de cas

Dans votre exemple particulier, $F(P,V,T)=PV-PNb+\frac{aN^{2}}{V}-\frac{aN^{3}b}{V^{2}}-Nk_{B}T=0$ nous pouvons en effet résoudre pour $P$ trouver $P=N\left(\dfrac{k_{B}T}{V-Nb}-\dfrac{aN}{V^{2}}\right)$.

Ensuite, nous pouvons calculer les deux fractions. Pour$-\dfrac{\frac{\partial P}{\partial T}}{\frac{\partial P}{\partial V}}$, nous obtenons quelque chose comme $\dfrac{k_B(V-Nb)V^3}{k_BTV^3-2aN(V-Nb)^2}$. Mais pour$-\dfrac{\frac{\partial F}{\partial T}}{\frac{\partial F}{\partial V}}$ nous obtenons quelque chose comme $\dfrac{k_BNV^3}{aN^2(2Nb-V)+PV^3}$, qui a l'air différent. Mais nous devons nous rappeler de substituer la valeur constante de$P$ de $P=N\left(\dfrac{k_{B}T}{V-Nb}-\dfrac{aN}{V^{2}}\right)$. Ensuite, nous obtenons$\dfrac{k_BNV^3}{aN^2(2Nb-V)+N\left(\dfrac{k_{B}T}{V-Nb}-\dfrac{aN}{V^{2}}\right)V^3}$, qui simplifie au même $\dfrac{k_B(V-Nb)V^3}{k_BTV^3-2aN(V-Nb)^2}$.

Vous pouvez vérifier le calcul avec le code Wolfram / Mathematica:

Wolfram Language (Mathematica) , 458 octets

Print[Simplify[Solve[P*V - P*N*b + a*N*N/V - a*N*N*N*b/(V*V) - N*kB*T == 0, P]]]
Print[Simplify[-D[N (-((kB T)/(b N - V)) - (a N)/V^2), T]/D[N (-((kB T)/(b N - V)) - (a N)/V^2), V]]]
Print[Simplify[-D[P*V - P*N*b + a*N*N/V - a*N*N*N*b/(V*V) - N*kB*T, T]/D[P*V - P*N*b + a*N*N/V - a*N*N*N*b/(V*V) - N*kB*T, V]]]
Print["Why Not the same? Substitute in for P."]
Print[Simplify[(kB N V^3)/(a N^2 (2 b N - V) + P V^3) /. P -> N (-((kB T)/(b N - V)) - (a N)/V^2)]]

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