Déterminer si une fonction est surjective?

Question

Alors dis que tu as la fonction ${f: \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}}$et souhaitez déterminer si $f(m, n)=2m-n$ est une fonction surjective.

J'ai trouvé cette vidéo en ligne, dont il le prouve ensuite. La partie que je ne comprends pas, c'est pourquoi la preuve fonctionne. Dans la vidéo, il arrive à$f(0, -y) = 2(0)-(-y)=y$, mais je ne comprends pas comment cela prouve ${f: \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}}$.

Idem avec la fonction $f(m, n)=m^2-n^2$, J'ai trouvé cette réponse en ligne, mais elle ressemble à$f(m, n)=m^2-n^2$n'est pas une fonction surjective. Mais la fonction n'a-t-elle pas simplement besoin de générer un entier? Pourquoi quelque chose comme$m=2$ et $n=4$ travail?

Answer 1

Pour $f(m,n)=2m-n$, le but est de trouver pour chaque $y\in\mathbb{Z}$, $(m,n)\in\mathbb{Z}^2$ tel que $f(m,n)=y$, mais comme mentionné $f(0,-y)=y$ Et ainsi $(m,n)=(0,-y)$ fonctionne, nous avons donc: $\forall y\in\mathbb{Z},\exists (m,n)\in\mathbb{Z}^2,y=f(m,n)$. Pour ce qui est de$f(m,n)=m^2-n^2$, Je ne comprends pas ce que vous entendez par "la fonction n'a-t-elle pas juste besoin de sortir un entier? Pourquoi quelque chose comme m = 2 et n = 4 ne fonctionne-t-il pas?". La question est "est-ce que$f(m,n)$ prend toutes les valeurs possibles dans $\mathbb{Z}$ ? ", la réponse est non car $f(m,n)\neq 2$ pour tous $(m,n)\in\mathbb{Z}^2$comme le prouve la réponse. Il ne suffit bien entendu pas de dire que$f(m,n)\in\mathbb{Z}$ for all $(m,n)\in\mathbb{Z}^2$, take $n\in\mathbb{Z}\mapsto\mapsto |n|\in\mathbb{Z}$ which is clearly not surjective.

Answer 2

1. Because taking $\forall y \in \mathbb{Z}$ exists pair $f(0,-y)=y$.