Déterminez si les éléments suivants sont une séquence de Cauchy.

Question

Je ne sais pas si je le fais correctement. Les deux séquences sont les suivantes:

(1). Laisser$\{a_n\}$ être une suite de nombres réels telle que $|a_{n+1}-a_n|<\frac{1}{n}$ pour chaque $n\in \mathbb{N}$.

(2). Laisser$\{b_n\}$ être une suite de nombres réels telle que $|b_{n+1}-b_n|<\frac{1}{n^2}$ pour chaque $n\in \mathbb{N}$.

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Pour (2), j'ai argumenté de cette manière:

$$\sum_{n=1}^{\infty}|b_{n+1}-b_n|<\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}<\infty.$$ Donc, $\lim_{n\rightarrow \infty}|b_{n+1}-b_n|=0$, ce qui signifie que $b_n$converge. Par conséquent,$b_n$ est Cauchy.

Mais pour (1), j'ai trouvé que l'argument similaire ne fonctionne pas alors j'ai essayé de calculer $|a_{m}-a_n|$ pour $m>n$. Et j'ai quelque chose comme$|a_{m}-a_n|<\frac{1}{m-1}+\frac{1}{m-2}+\cdots+\frac{1}{n}$. Donc je pense$\{a_n\}$ n'est pas une séquence de Cauchy, mais je ne sais pas comment procéder.

Avez-vous des suggestions et pouvez-vous m'aider à vérifier si j'ai raison?

Answer 1

Pour (1), considérez $$a_n=\frac12\left(1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1n\right).$$ Cette séquence diverge (malgré $\lim_{n\to\infty}|a_{n+1}-a_n|=0$).

Pour (2), pouvez-vous prouver que $$|b_n-b_m|<\sum_{k=\min(m,n)}\frac1{k^2}?$$