Deux versions du théorème spectral?
J'étudie moi-même le théorème spectral (pour les opérateurs auto-adjoints bornés) et je suis le joli livre de Nik Weaver . Permettez-moi d'abord de présenter quelques notations.
Notations: Si$\mathcal{H}$ est un espace Hilbert, $\mathcal{B}(\mathcal{H})$ est le (espace de Banach) de tous les opérateurs linéaires bornés $A: \mathcal{H} \to \mathcal{H}$. Si$A \in \mathcal{B}(\mathcal{H})$, $\mbox{sp}(A)$ est le spectre de $A$.
Maintenant, laisse $(X, \mathcal{F},\mu)$ être un $\sigma$-espace de mesure fini. Un bundle Hilbert mesurable sur$X$ est une union disjointe: $$\mathcal{X} = \bigcup_{n\in \mathbb{N}}(X_{n}\times \mathcal{H}_{n}) $$ où $\{X_{n}\}_{n\in \mathbb{N}}$ est une partition mesurable de $X$ et, pour chaque $0 \le n \le \infty$, $\mathcal{H}_{n}$ est un espace de Hilbert avec dimension $n$.
Finalement, $f: X \to \mathcal{H}$ est faiblement mesurable si la fonction $x \mapsto \langle f(x),v\rangle$ est mesurable pour chaque $v \in \mathcal{H}$. Nous dénotons$L^{2}(X;\mathcal{H})$ l'ensemble de toutes les fonctions faiblement mesurables $f: X \to \mathcal{H}$ tel que: $$||f|| := \int_{x}||f(x)||^{2}d\mu(x) < +\infty $$fonctions modulo qui sont nulles presque partout. Ceci est un espace Hibert avec produit intérieur:$$\langle f,g\rangle := \int_{x}\langle f(x),g(x)\rangle d\mu(x) $$ Si $f \in L^{2}(X;\mathcal{H})$, $M_{f}$ est la multiplication de l'opérateur par $f$. Également,$L^{2}(X;\mathcal{X}) := \bigoplus_{n\in \mathbb{N}}L^{2}(\mathcal{X}_{n};\mathcal{H}_{n})$.
Maintenant, l'énoncé du théorème spectral dans cette référence est le suivant.
Théorème: Let$\mathcal{B}(\mathcal{H})$être auto-adjoint. Puis il sort une mesure de probabilité$\mu$ sur $\mbox{sp}(A)$, un bundle Hilbert mesurable $\mathcal{X}$ plus de $\mbox{sp}(A)$ et un isomorphisme isométrique $U: L^{2}(\mbox{sp}(A);\mathcal{X}) \to \mathcal{H}$ tel que $A = UM_{x}U^{-1}$.
Cependant, je suis plus intéressé par une autre version de ce théorème, qui est énoncée dans le livre de Dimock et va comme (avec une notation adaptée)
Théorème: Let$A \in \mathcal{B}(\mathcal{H})$être auto-adjoint. Ensuite, il existe un espace de mesure$(\mathcal{M},\mathcal{\Omega},\mu)$, une fonction mesurable bornée $\tau: \mathcal{M}\to \mathbb{R}$ et un opérateur unitaire $U: \mathcal{H}\to L^{2}(\mathcal{M},\mu)$ tel que $A = UM_{\tau}U^{-1}$.
Question: Comment puis-je obtenir la version de Dimock du théorème spectral à partir de la version de Weaver?
Réponses
Laisser $\mathcal{M}$ être une union disjointe composée de $n$ copies de $X_n$ pour chaque $n$. La mesure donnée sur$\mbox{sp}(A)$ se limite à une mesure sur $X_n$ et induit ainsi une mesure sur $\mathcal{M}$. Il y a alors un isomorphisme$L^2(\mathcal{M})\cong L^2(\mbox{sp}(A);\mathcal{X})$: si vous choisissez une base orthonormée pour chaque $\mathcal{H}_n$, puis $L^2(X_n;\mathcal{H}_n)$ est juste une somme directe de $n$ copies de $L^2(X_n)$, et quand vous prenez la somme directe de tout cela $n$ vous obtenez $L^2(\mathcal{M})$. Cet isomorphisme$L^2(\mathcal{M})\cong L^2(\mbox{sp}(A);\mathcal{X})$ tourne la multiplication par $x$ sur $\mbox{sp}(A)$ multiplication par la fonction $\tau$ sur $\mathcal{M}$ qui est donnée par la fonction d'inclusion $X_n\to\mathbb{R}$ sur chaque copie de chaque $X_n$.
(Alternativement, sans utiliser directement la version de Weaver, la version de Dimock suit en utilisant la même preuve que Weaver mais en utilisant son théorème 3.4.2 au lieu du corollaire 3.4.3. Weaver lui-même commente cela (car il s'applique dans le cas non séparable comme bien) en haut de la page 62.)