Déviance résiduelle pour la régression binomiale
La déviance résiduelle pour la régression binomiale a la forme $sign(y_i- m_i\hat{p}_i)d_i$, où $m_i\hat{p}_i$ est la valeur ajustée, $d_i$est la contribution de l'observation i à la déviance du modèle ajusté. J'ai des difficultés à dériver la forme de$d_i$. Comme indiqué ci-dessous, je n'ai pas pu obtenir le coefficient du 2e terme logarithmique$m_i-y_i$. Quelqu'un pourrait-il me montrer où j'ai commis des erreurs? Merci d'avance!
La forme donnée dans mes notes de cours:
Ma tentative de dérivation:
Comme mentionné par Thomas, le paramètre naturel $\theta_i$ = logit ($\mu_i$) au lieu. La dérivation correcte:
Réponses
Première chose à vérifier: qui a tort?
Votre version tombe en panne si $y_i=m_i$ mais $\hat p_i\neq 1$, donnant $m_i\log 0=-\infty$pour le second terme et pas de sauvetage du premier terme, qui reste fini. La version dans vos notes est correcte si vous définissez$x\log x$ à $x=0$ par la limite d'en haut.
En retraçant cela, les infinis apparaissent d'abord à votre deuxième puce.
Même avant cela, cependant, vous avez pris le paramètre pour être $\log \mu$ et c'est en fait $\mathrm{logit} \mu$ (en supposant que vous utilisez le lien logit canonique, qui correspond à la formule dans vos notes de cours).