Différence entre deux matrices définies positives

Question

Je voudrais prouver la réclamation suivante:

Supposons que A et B soient des matrices définies positives (carrées, symétriques) de dimension nxn (avec l'espace vectoriel sous-jacent V). Alors, BA est IFF semi- défini positif$A^{-1}$ - $B^{-1}$ est semi-défini positif.

Ma tentative d'approche consiste à utiliser la caractérisation variationnelle des valeurs propres:

$\forall x \in V , x^T(B-A)x \geq 0 \Rightarrow x^TBx \geq x^TAx$

Par la caractérisation variationnelle des valeurs propres des matrices symétriques,

$\lambda_k(B) = max_{dim(U) = k} min_{x\in U, ||x|| = 1} \ x^TBx \geq max_{dim(U) = k} min_{x\in U, ||x|| = 1} \ x^TAx = \lambda_k(A)$

$\forall \ \ 1\leq k\leq n$

Si cela est vrai, je pense que la revendication suit simplement en comparant les grandeurs des valeurs propres des inverses parce que A et B sont positifs définis, mais je me demande si la dernière étape ci-dessus est en fait correcte. Est-ce que le maxmin ci-dessus préserve$x^TBx \geq x^TAx$?

Edit: Je ne suis pas sûr que cela aide réellement à prouver la revendication principale. Des indices?

Answer 1

lemme:
pour un vrai symétrique$C\succ \mathbf 0$
$I-C\succeq \mathbf 0$ iff $C^{-1}-I\succeq \mathbf 0$
le LHS est vrai ssi tout $\lambda^{(C)}\in (0,1]$ et le RHS est vrai ssi tout $\lambda^{(C^{-1})}\in [1,\infty)$, mais $\big(\lambda^{(C)}\big)^{-1} = \lambda^{(C^{-1})}$ donc une condition implique l'autre

argument principal
sélectionner$C:= B^\frac{-1}{2}AB^\frac{-1}{2}$
$B-A = B^\frac{1}{2}\big(I -B^\frac{-1}{2}AB^\frac{-1}{2}\big)B^\frac{1}{2} = B^\frac{1}{2}\big(I -C\big)B^\frac{1}{2}$
$A^{-1} -B^{-1} = B^\frac{-1}{2}\big(B^\frac{1}{2}A^{-1}B^\frac{1}{2} - I\big)B^\frac{-1}{2}= B^\frac{-1}{2}\big(C^{-1} - I\big)B^\frac{-1}{2}$

rappelez-vous que la congruence implique la même signature et l'avis
$B^\frac{1}{2}\big(I -C\big)B^\frac{1}{2}$ est congru à $\big(I-C\big)$ et
$B^\frac{-1}{2}\big(C^{-1} - I\big)B^\frac{-1}{2}$ est congru à $\big(C^{-1} - I\big)$
et par application du lemme, le premier est PSD ssi le second est