Différence entre double espace, double sous-espace d'un espace vectoriel.

Question

1. Je suis en train de parcourir un livre célèbre sur le codage de contrôle d'erreur (Channel Coding) pour comprendre ses bases. L'auteur écrit à propos de l' espace double comme suit: «Par conséquent, Sd satisfait les deux axiomes pour un sous-espace d'un espace vectoriel sur un corps fini. Par conséquent, Sd est un sous-espace de l'espace vectoriel Vn de tous les n-uplets sur GF (q). Sd est appelé l'espace dual (ou nul) de S et vice versa. "
2. Ce que je sais de l'algèbre linéaire, c'est qu'un espace double est constitué d'un ensemble de toutes les transformations linéaires sur un espace vectoriel vers le champ F.
3. En même temps, il y a un autre livre qui définit le concept au paragraphe 1 ci-dessus avec les libellés suivants et avec le nom de Dual SUBSPACE "Si S est un sous-espace à k dimensions de l'espace vectoriel à n dimensions Vn, l'ensemble Sd de vecteurs v pour qui pour tout u ∈ S et v ∈ Sd, u ◦ v = 0 est appelé le double sous-espace de S "
4. L'espace nul est défini comme tous les éléments de l'espace vectoriel qui produisent un vecteur nul lorsqu'une transformation linéaire leur est appliquée.

Mes questions sont: a. Les terminologies sont-elles correctes concernant les trois concepts définis ci-dessus (double espace, double sous-espace et espace nul). b. Et le livre référencé au paragraphe 1 ci-dessus a une faute de frappe?

Answer 1

Dans la théorie du codage, l'espace dual n'est pas utilisé au sens de fonctionnelles linéaires, alors oubliez 2.

Un $[n,k]$ code linéaire $C$ est un $k$ sous-espace dimensionnel de $\mathbb{F}_q^n$ (par définition) et son double code $C^{\perp}$ est ce que l'on appelle normalement le complément orthogonal de $C$ qui est lui-même un sous-espace de dimension $n-k$.