Différence entre $\equiv$ et $=$?
Quelle est la différence entre $\equiv$ et $=$?
Ma pensée est que, quand $\equiv$ est utilisé $=$aurait pu être utilisé également. L'expression résultante ne serait pas fausse, mais prendrait simplement une signification légèrement différente. Mais quelle est exactement la relation entre ces symboles?
Pour donner un exemple pratique, considérez ceux-ci: $$ 𝑋=𝑌:⟺∀𝑥:(x∈𝑋\iff𝑥∈𝑌) $$ $$ 𝑋=𝑌:=∀𝑥:(x∈𝑋\iff𝑥∈𝑌) $$ $$ 𝑋=𝑌:\equiv∀𝑥:(x∈𝑋\iff𝑥∈𝑌) $$
Ou celles-ci: $$ 5+7=12 $$ $$ 5+7\equiv12 $$ $$ 5+7=7+5 $$ $$ 5+7\equiv7+5 $$
Réponses
La $:$ est crucial ici, indiquant que ce qui se trouve à gauche de $:\Longleftrightarrow$, $:=$ ou $:\equiv$ est défini comme ce qui est à droite. Ces trois symboles à deux caractères signifient tous la même chose. Mais si vous demandez une comparaison des significations du "nu"$\Longleftrightarrow$, $=$, $\equiv$, eh bien, ce sont tous différents.
Les deux premiers sont faciles: $\Longleftrightarrow$ signifie iff, et $=$signifie égal. Mais$\equiv$ peut désigner des identités (faire est plus fort que $=$) ou des relations d'équivalence (qui sont plus faibles que$=$, et souvent noté $\sim$, bien que la congruence en particulier soit toujours représentée par$\equiv$.)
Malheureusement, il existe plusieurs utilisations différentes pour $\equiv$, et il peut être plus fort ou plus faible que $=$.
Un sens commun est "est identique à". Un cas typique où vous verriez ceci est$f(x)\equiv g(x)$, et il souligne que les fonctions $f$ et $g$ sont égaux, plutôt que simplement leurs valeurs étant égales pour un $x$. C'est fondamentalement la même chose que "pour chaque$x$, $f(x)=g(x)$". Nous pouvons également utiliser $\equiv$ pour distinguer une relation qui tient toujours, comme $cos^2 x\equiv 1-\sin^2 x$, à partir d'une équation à résoudre pour $x$, tel que $\cos x=1-\sin x$.
Une autre utilisation courante est l'arithmétique modulaire, ou "horloge". Ici, nous disons que deux entiers sont modulo congruents$m$ s'ils diffèrent par un multiple de $m$. La connexion aux horloges est que deux heures de 4 heures ne sont pas nécessairement la même heure, mais elles doivent être un multiple de 12 heures d'intervalle. Nous écrivons$a\equiv b\pmod m$ pour "$a$ est congru à $b$ modulo $m$". Ici $16\equiv 4\pmod{12}$, mais bien sûr $16\neq 4$.
$\equiv$ signifie "égal pour toutes les valeurs des variables", tandis que $=$signifie simplement «égal» (peut-être pour seulement certaines valeurs des variables). Par exemple, comparez$$\cos(\alpha+\beta)\equiv\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$$ avec $$ \cos(\alpha+\beta)=\cos(\alpha-\beta).$$La première affirmation est vraie car les deux côtés sont égaux pour tous $\alpha$ et $\beta$, tandis que la seconde peut être vraie pour certaines valeurs de $\alpha$ et $\beta$ (à savoir lorsque l'un d'eux est un multiple de $\pi$).
$\equiv$ est utilisé pour $\text{identity}$ surtout, mais $=$ est utilisé pour l'équation