Différenciabilité au point d'inflexion

Question

Le point d'inflexion signifie littéralement que la pente ne change pas à ce point, donc tous les points d'inflexion ne devraient-ils pas être obligatoirement différenciables? Je ne comprends pas très bien le point d'inflexion. C'est un point où la concavité du graphe change, mais cela semble trop vague. La pente est constante à ce point, mais comment une pente peut-elle être constante à un 'POINT' ?? N'avons-nous pas besoin de points proches pour la pente? Qu'y a-t-il exactement de si spécial à propos du point d'inflexion lorsque tous les points différenciables ont déjà la même dérivée gauche et droite? Lorsque x tend vers 0, tous les points différentiables n'ont-ils pas la même pente à gauche et à droite? Alors, pourquoi le point d'inflexion est-il différent?

J'espère que vous avez ma question!

Answer 1

Comme l'illustre également cette réponse , il est incorrect de supposer que la condition$f''(x) = 0$est le seul critère pour déterminer si un point est un point d'infection. Je vais citer le même exemple juste pour faire valoir ce point.

Considérez la fonction: $$f(x)=\cases{ -x^2 & $x \ le 0$ \\ x^2 & $x> 0$ }$$

Si vous esquissez le graphique de la fonction, vous pouvez noter assez clairement que la concavité de la fonction ci-dessus change à $x = 0$. Cependant, la seconde dérivée n'est pas continue à ce stade.

Par conséquent, votre argument selon lequel un point d'inflexion implique que la pente "ne change pas" est également tout à fait incorrect. S'il est vrai que si la seconde dérivée est continue en un point$x = a$ et la seconde dérivée existe au point, alors $f''(a) = 0$, nous ne pouvons pas simplement conclure qu'un point est un point d'inflexion en notant que la double dérivée disparaît. Vous pouvez également considérer les graphiques des fonctions$y = x^{2n}$ pour $2 \le n$ où le double dérivé disparaît à $x=0$ mais la concavité ne change pas.