Différenciabilité en zéro

Question

Considérons la fonction donnée par,

$$f(x)=\begin{cases} x^2+kx+m & -\frac{\pi}{2}<x< 0 \\ \tan(x)+\cos(x) & 0\leq x< \frac{\pi}{2} \end{cases}$$

Je veux maintenant déterminer $k$ et $m$ tel que $f$ est différenciable en $x=0$.

De plus, je veux déterminer $k$ tel que la ligne $k=y-36x$ est perpendiculaire à la courbe suivante donnée par,

$$y=\frac{1}{|x-7|}$$

Pour la première tâche j'ai conclu $m=1$ et $k\in \mathbb{R}$. Est-ce correct, pour la deuxième tâche, je n'ai fait aucun progrès

Answer 1

Continuité:

$\lim_{x \to 0^{-}}f(x)=\lim_{x \to 0^{+}}f(x)=f(0)\\\Longrightarrow m=\tan 0 + \cos 0 \\ \Longrightarrow m=1$

Différenciabilité:

$f'(x)=\begin{cases} 2x+k &-\frac{\pi}{2}<x<0\\ \sec^2x-\sin x &0\leq x<\frac{\pi}{2} \end{cases} \\ \Longrightarrow 2\cdot 0 +k=\sec^2 0-\sin 0 \\ \Longrightarrow k=1$

Answer 2

Vous pouvez obtenir 2 équations, l'une pour la continuité et l'autre pour la différentiabilité.

VÉRIFICATION DE LA CONTINUITÉ

$$f(x)=\begin{cases} x^2+kx+m & -\frac{\pi}{2}<x< 0 \\ \tan(x)+\cos(x) & 0\leq x< \frac{\pi}{2} \end{cases}$$ $$\lim_{h \to0^+}h^2-kh+m=\tan h +\cos h$$ $$\implies \boxed{m=1}$$

VÉRIFICATION DE LA DIFFÉRENTIABILITÉ $$f'(x)=\begin{cases} 2x+k & -\frac{\pi}{2}<x< 0 \\ \sec^2(x)-\sin(x) & 0\leq x< \frac{\pi}{2} \end{cases}$$ $$\lim_{h \to0^+}-2h+k=\sec^2(h)-\sin(h)$$

Je vous laisse conclure.